Dans la première partie de cette Note, on montre que la première valeur propre non nulle du laplacien sur les 1-formes différentielles d'une variété hyperbolique complexe de congruence standard de dimension complexe n est toujours supérieure ou égale à . La suite de cette Note est consacrée à des applications homologiques de ce résultat. On démontre notamment que si Sh0H⊂Sh0G sont deux variétés de Shimura respectivement de type U(n−1,1) et U(n,1), l'application naturelle H2n−3(Sh0H)→H2n−3(Sh0G) est injective, première étape d'un « théorème de Lefschetz » pour les variétés de Shimura.
In the first part of this Note, we show that the first non-zero eigenvalue of the Laplace operator on 1-forms of a standard congruence arithmetic complex hyperbolic n-manifold is always . The following parts of this Note concern homological applications of this result. We prove, in particular, that if Sh0H⊂Sh0G are two Shimura varieties of type U(n−1,1) and U(n,1), the natural map H2n−3(Sh0H)→H2n−3(Sh0G) is injective, first step of a “Lefschetz theorem” for Shimura varieties.
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Nicolas Bergeron 1 ; Laurent Clozel 1
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Nicolas Bergeron; Laurent Clozel. Spectre et homologie des variétés hyperboliques complexes de congruence. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 11, pp. 995-998. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02398-1. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02398-1/
[1] Unipotent automorphic representations: Conjectures, Astérisque, Volume 171–172 (1989), pp. 13-172
[2] N. Bergeron, Asymptotique de la norme L2 d'un cycle géodésique dans les revêtements de congruence d'une variété hyperbolique arithmétique, 2002, à paraı̂tre
[3] Continuous Cohomology, Discrete Subgroups, and Representations of Reductive Groups, Princeton University Press, 1980
[4] Ramanujan duals II, Invent. Math., Volume 106 (1991), pp. 1-11
[5] Restriction of the holomorphic cohomology of a Shimura variety to a smaller Shimura variety, Duke Math. J., Volume 95 (1998), pp. 51-106
[6] L2-cohomology and index theorem for the Bergman metric, Ann. of Math. (2), Volume 118 (1983), pp. 593-618
[7] N. Bergeron, L. Clozel, Article en préparation
[8] A Lefschetz property for subvarieties of Shimura varieties, J. Algebraic Geometry, Volume 7 (1998), pp. 77-122
[9] A formula for the Betti numbers of compact locally symmetric Riemannian manifolds, J. Differential Geom., Volume 1 (1967), pp. 99-109
[10] Automorphic Representations of Unitary Groups in Three Variables, Princeton University Press, 1990
[11] Projective limits of locally symmetric spaces and cohomology, J. Reine Angew. Math., Volume 479 (1996), pp. 149-182
[12] Automorphic L-functions: a survey, Perspect. Math., Volume 10 (1990), pp. 415-437
[13] Cohomology of compact locally symmetric spaces, Compositio Math., Volume 125 (2001), pp. 221-253
[14] On the generalized Ramanujan conjecture for GL(n), Proc. Sympos. Pure Math., Volume 66 (1999), pp. 301-310
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