Théorèmes d'existence pour des équations avec l'opérateur « 1-Laplacien », première valeur propre pour −<i>Δ</i><sub>1</sub>

Françoise Demengel

doi:10.1016/S1631-073X(02)02405-6

Théorèmes d'existence pour des équations avec l'opérateur « 1-Laplacien », première valeur propre pour −Δ₁

Françoise Demengel ¹

¹ University of Cergy-Pontoise, site de Saint-Martin, 2, avenue Adolphe Chauvin, 95 000 Cergy-Pontoise, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 12, pp. 1071-1076.

Résumé
Abstract

On considère des équations de la forme

{\begin{matrix} - div σ = f (x, u), u ⩾ 0, u \neg \equiv 0, u \in BV (Ω), \\ σ \cdot \nabla u = {| \nabla u | in Ω, | σ |}_{L^{\infty} (Ω)} ⩽ 1, \\ σ \cdot \vec{n} (- u) = u on \partial Ω, \end{matrix}

où

Ω

est un domaine borné de

ℝ^{N}

,

u \in BV (Ω)

et

f (x, u) \in L^{N} (Ω)

. On s'interesse au cas où f est constante et en particulier on définit la première valeur propre λ₁ pour −div(σ(u)), on étudie les premières fonctions propres. Ensuite on considère pour λ>λ₁ des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de solutions non triviales et non négatives pour l'équation

- div (σ (u)) = λ + {fu}^{q - 1}

(avec des conditions aux limites) et

f \in L^{\infty} (Ω)

, 1<q⩽1^★=N/(N−1).

We consider partial differential equations of the form

{\begin{matrix} - div σ = f (x, u), u ⩾ 0, u \neg \equiv 0, u \in BV (Ω), \\ σ \cdot \nabla u = {| \nabla u | in Ω, | σ |}_{L^{\infty} (Ω)} ⩽ 1, \\ σ \cdot \vec{n} (- u) = u on \partial Ω, \end{matrix}

where

Ω

is some smooth bounded domain in

ℝ^{N}

,

u \in BV (Ω)

and

f (x, u) \in L^{N} (Ω)

. We consider the case where f=cte, define the first eigenvalue λ₁ for −div(σ(u)), and study eigenfunctions. We consider then for λ⩾λ₁ some necessary and sufficient conditions on f and the first eigenfunctions for existence of nontrivial solutions to

- div (σ (u)) = λ + {fu}^{q - 1}

(with boundary conditions),

f \in L^{\infty} (Ω)

, and 1<q⩽1^★=N/(N−1).

Reçu le : 2002-03-05
Accepté le : 2002-03-18
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02405-6

Affiliations des auteurs :

Françoise Demengel ¹

¹ University of Cergy-Pontoise, site de Saint-Martin, 2, avenue Adolphe Chauvin, 95 000 Cergy-Pontoise, France

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TY  - JOUR
AU  - Françoise Demengel
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Françoise Demengel. Théorèmes d'existence pour des équations avec l'opérateur « 1-Laplacien », première valeur propre pour −Δ₁. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 12, pp. 1071-1076. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02405-6. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02405-6/

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