Comptes Rendus
no. 1
Extension du théorème de Cameron–Martin aux translations aléatoires
Xavier Fernique1
1Institut de recherche mathématique avancée, Université Louis Pasteur et CNRS, 7, rue René Descartes, 67084 Strasbourg cédex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 1, pp. 65-68

Soit γ une probabilité gaussienne (centrée) sur un espace de Fréchet séparable et localement convexe E ; soit (H,‖·‖) l'espace auto-reproduisant associé. On montre que si une probabilité μ sur E est absolument continue relativement à γ, alors il existe un vecteur aléatoire G de loi γ et un vecteur aléatoire Z à valeurs dans H tel que G+Z ait la loi μ ; on utilise pour cela les inégalités isopérimétriques gaussiennes. On montre ensuite que dans certaines situations une telle condition, nécessaire pour l'absolue continuité, est aussi suffisante ; on utilise pour cela le théorème classique de Cameron–Martin et les propriétés d'invariance des probabilités gaussiennes par rotation.

Let G be a Gaussian vector taking its values in a locally convex separable Fréchet space E. We denote by γ its law and by (H,‖·‖) its reproducing Hilbert space. Let moreover X be an E-valued random vector of law μ. We prove that if μ is absolutely continuous relatively to γ, then there exist necessarly a Gaussian vector G′ of the law γ and an H-valued random vector Z such that G′+Z has the law μ of X. This fact is a direct consequence of isoperimetric properties of Gaussian vector. We show that in many situations, such condition is sufficient for μ being absolutely continuous relatively to γ, using classical Cameron–Martin theorem and invariance properties of Gaussian measures.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02434-2

Xavier Fernique  1

1 Institut de recherche mathématique avancée, Université Louis Pasteur et CNRS, 7, rue René Descartes, 67084 Strasbourg cédex, France 
Xavier Fernique. Extension du théorème de Cameron–Martin aux translations aléatoires. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 1, pp. 65-68. doi: 10.1016/S1631-073X(02)02434-2
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[1] X. Fernique, Fonctions aléatoires gaussiennes, vecteurs aléatoires gaussiens, Les Publications C.R.M., 1997

[2] M. Ledoux; M. Talagrand Probability in Banach Spaces, Ergeb. Math. (3), 23, Springer, Berlin, 1991

[3] S.T. Rachev; L. Rüschendorf Mass Transportation Problems, Probab. Appl., Springer, Berlin, 1998

[4] A.S. Ustunel; M. Zakaï Transformation of Measure on Wiener Space, Springer Monographs in Math., Springer, Berlin, 2000

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