Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques

Jean Bourgain

doi:10.1016/S1631-073X(02)02525-6

Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques

Jean Bourgain ¹

¹ School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 6, pp. 529-531.

Résumé
Abstract

On considère des operateurs de Schrödinger H sur $ℤ$ de la forme H=H_λ,x,ω=λv(x+nω)δ_n,n′+Δ où v est une fonction réelle analytique non-constante sur le tore d-dimensionnel $𝕋^{d} (d ⩾ 1)$ et Δ le Laplacien discret sur $ℤ$ . Denotons L_ω(E) l'exposant de Lyapounov, consideré comme fonction de l'énergie E et du vecteur de rotation $ω \in 𝕋^{d}$ . Pour |λ|>λ₀(v), on a la minoration $L_{ω} (E) > \frac{1}{2} \log | λ |$ uniforme pour toute E et ω. Pour tout λ et ω, L_ω(E) est une fonction continu de E. En plus, L_ω(E) est continu comme fonction de (ω,E) en tout point $(ω_{0}, E_{0}) \in 𝕋^{d} \times ℝ$ tel que k·ω₀≠0 pour tout $k \in ℤ^{d} ⧹ {0}$ .

We consider quasi-periodic Schrödinger operators H on $ℤ$ of the form H=H_λ,x,ω=λv(x+nω)δ_n,n′+Δ where v is a non-constant real analytic function on the d-torus $𝕋^{d} (d ⩾ 1)$ and Δ denotes the discrete lattice Laplacian on $ℤ$ . Denote by L_ω(E) the Lyapounov exponent, considered as function of the energy E and the rotation vector $ω \in 𝕋^{d}$ . It is shown that for |λ|>λ₀(v), there is the uniform minoration $L_{ω} (E) > \frac{1}{2} \log | λ |$ for all E and ω. For all λ and ω, L_ω(E) is a continuous function of E. Moreover, L_ω(E) is jointly continuous in (ω,E), at any point $(ω_{0}, E_{0}) \in 𝕋^{d} \times ℝ$ such that k·ω₀≠0 for all $k \in ℤ^{d} ⧹ {0}$ .

Reçu le : 2002-07-01
Accepté le : 2002-07-25
Publié le : 2002-08-25

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02525-6

Affiliations des auteurs :

Jean Bourgain ¹

¹ School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, USA

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Jean Bourgain. Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 6, pp. 529-531. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02525-6. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02525-6/

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Cité par 4 documents. Sources : Crossref, zbMATH

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