Comptes Rendus
no. 6
Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques
Jean Bourgain1
1 School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, USA
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 6, pp. 529-531.

On considère des operateurs de Schrödinger H sur ℤ de la forme H=Hλ,x,ω=λv(x+nω)δn,n′+Δ où v est une fonction réelle analytique non-constante sur le tore d-dimensionnel 𝕋 d (d⩾1) et Δ le Laplacien discret sur ℤ. Denotons Lω(E) l'exposant de Lyapounov, consideré comme fonction de l'énergie E et du vecteur de rotation ω∈𝕋 d . Pour |λ|>λ0(v), on a la minoration L ω (E)>1 2 log |λ| uniforme pour toute E et ω. Pour tout λ et ω, Lω(E) est une fonction continu de E. En plus, Lω(E) est continu comme fonction de (ω,E) en tout point (ω 0 ,E 0 )∈𝕋 d ×ℝ tel que k·ω0≠0 pour tout k∈ℤ d ⧹{0}.

We consider quasi-periodic Schrödinger operators H on ℤ of the form H=Hλ,x,ω=λv(x+nω)δn,n′+Δ where v is a non-constant real analytic function on the d-torus 𝕋 d (d⩾1) and Δ denotes the discrete lattice Laplacian on ℤ. Denote by Lω(E) the Lyapounov exponent, considered as function of the energy E and the rotation vector ω∈𝕋 d . It is shown that for |λ|>λ0(v), there is the uniform minoration L ω (E)>1 2 log |λ| for all E and ω. For all λ and ω, Lω(E) is a continuous function of E. Moreover, Lω(E) is jointly continuous in (ω,E), at any point (ω 0 ,E 0 )∈𝕋 d ×ℝ such that k·ω0≠0 for all k∈ℤ d ⧹{0}.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02525-6
Jean Bourgain 1

1 School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, USA 
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Jean Bourgain. Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 6, pp. 529-531. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02525-6. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02525-6/

[1] J. Bourgain, Green's function estimates for lattice Schrödinger operators and applications, Ann. of Math. Stud., à paraître

[2] J. Bourgain, Positivity and continuity of the Lyapounov exponent for shifts on 𝕋 d with arbitrary frequency vector and real analytic potential, Preprint, 2002

[3] J. Bourgain; M. Goldstein On nonperturbative localization with quasi-periodic potential, Ann. of Math., Volume 152 (2000), pp. 835-879

[4] J. Bourgain, S. Jitomirskaya, Continuity of the Lyapounov exponent for quasi-periodic operators with analytic potential, à paraître

[5] M. Goldstein; W. Schlag Hölder continuity of the integrated density of states for quasi-periodic Schrödinger operators and averages of shifts of subharmonic function, Ann. of Math., Volume 154 (2001), pp. 155-203

[6] I.V. Krasovsky Bloch electrons in a magnetic field and the Ising model, Phys. Rev. Lett., Volume 85 (2000), pp. 4920-4923

[7] E. Soretz; T. Spencer Positive Lyapounov exponents for Schrödinger operators with quasi-periodic potentials, CMP, Volume 142 (1991) no. 3, pp. 543-566

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