Gibbs states of a quantum crystal: uniqueness by small particle mass

Sergio Albeverio; Yuri Kondratiev; Yuri Kozitsky; Michael Röckner

doi:10.1016/S1631-073X(02)02545-1

Gibbs states of a quantum crystal: uniqueness by small particle mass
[États de Gibbs de crystaux quantiques: unicité dans le cas d'une petite masse]

Sergio Albeverio ^1,^2,³ ; Yuri Kondratiev ^4,^2,⁵ ; Yuri Kozitsky ⁶ ; Michael Röckner ^4,²

¹ Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn, 53115 Bonn, Germany
² Forschungszentrum BiBoS, Universität Bielefeld, 33615 Bielefeld, Germany
³ CERFIM, Locarno and USI, Switzerland
⁴ Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, 33615 Bielefeld, Germany
⁵ Institute of Mathematics, Kiev, Ukraine
⁶ Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej, 20-031 Lublin, Poland

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 8, pp. 693-698.

Résumé
Abstract

On considère un modèle de particules quantiques en intéraction effectuant des oscillations anharmoniques uni-dimensionelles autour de leur positions d'équilibre sur le réseau $ℤ^{d}$ . Pour ce modèle, nous énonçons deux résultats décrivant ses propriétés d'équilibre. Le premier théorème affirme l'existence de $m_{*} > 0$ tel que pour toutes les valeurs de la masse m de la particule inférieures à $m_{*}$ , l'ensemble des mesures euclidiennes tempérées de Gibbs consiste en un seul élément, à toute température β⁻¹. Cela résoud un problème qui est resté ouvert pour longtemps et améliore essentiellement un résultat analogue obtenu par les mêmes auteurs, lorsque $m_{*}$ dépendait de β de sorte que $m_{*} (β) \to 0$ si β→+∞. Le deuxième théorème dit que la fonction de corrélation a une décroissance exponentielle si $m < m_{*}$ .

A model of interacting quantum particles performing one-dimensional anharmonic oscillations around their unstable equilibrium positions, which form the lattice $ℤ^{d}$ , is considered. For this model, two statements describing its equilibrium properties are given. The first theorem states that there exists $m_{*} > 0$ such that for all values of the particle mass $m < m_{*}$ , the set of tempered Euclidean Gibbs measures consists of exactly one element at all values of the temperature β⁻¹. This settles a problem that was open for a long time and is an essential improvement of a similar result proved before by the same authors [1] where the boundary $m_{*}$ depended on β in such a way that $m_{*} (β) \to 0$ for β→+∞. The second theorem states that the two-point correlation function has an exponential decay if $m < m_{*}$ .

Reçu le : 2002-08-01
Accepté le : 2002-09-03
Publié le : 2002-10-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02545-1

Affiliations des auteurs :

Sergio Albeverio ^{1, 2, 3} ; Yuri Kondratiev ^{4, 2, 5} ; Yuri Kozitsky ⁶ ; Michael Röckner ^{4, 2}

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Sergio Albeverio; Yuri Kondratiev; Yuri Kozitsky; Michael Röckner. Gibbs states of a quantum crystal: uniqueness by small particle mass. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 8, pp. 693-698. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02545-1. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02545-1/

Bibliographie
Cité par

[1] S. Albeverio; Yu. Kondratiev; Yu. Kozitsky; M. Röckner Uniqueness for Gibbs measures of quntum lattices for small mass regime, Ann. Inst. H. Poincaré, Probab. Statist., Volume 37 (2001) no. 1, pp. 43-69

[2] S. Albeverio, Yu. Kondratiev, Yu. Kozitsky, M. Röckner, Euclidean Gibbs states for quantum lattice systems, Preprint BiBoS, Bielefeld, 2001, to appear in Rev. Math. Phys

[3] S. Albeverio; Yu. Kondratiev; Yu. Kozitsky Suppression of critical fluctuations by strong quantum effects in quantum lattice systems, Comm. Math. Phys., Volume 194 (1998), pp. 493-512

[4] S. Albeverio, Yu. Kondratiev, T. Pasurek, M. Röckner, A priori estimates and existence for Euclidean Gibbs measures, Preprint BiBoS Nr. 02-06-089, Bielefeld, 2002

[5] V.S. Barbulyak; Yu.G. Kondratiev The quasiclassical limit for the Schrödinger operator and phase transitions in quantum statistical physics, Func. Anal. Appl., Volume 26 (1992) no. 2, pp. 61-64

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[7] J.L. Lebowitz; E. Presutti Statistical mechanics of unbounded spins, Comm. Math. Phys., Volume 50 (1976), pp. 195-218

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Cité par Sources :

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