Comptes Rendus
no. 10
Condition inf-sup pour l'élément fini de Taylor–Hood P2-iso-P1, 3-D ; application aux équations de Maxwell
Patrick Ciarlet1 ; Vivette Girault2
1 ENSTA/UMA, 32 boulevard Victor, 75739 Paris cedex 15, France
2 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université P. & M. Curie, 75252 Paris cedex 05, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 10, pp. 827-832.

On considère la discrétisation des équations de Maxwell, telle qu'elle a été proposée dans [3,2,1]. Les approximations numériques du champ électromagnétique et du multiplicateur de Lagrange associé à la divergence du champ sont réalisées à l'aide de l'élément fini de Taylor–Hood P2-iso-P1, et complétées de fonctions-test singulières, lorsque le domaine de calcul est non convexe, à bord non régulier. Le but de la Note est de prouver l'existence d'une condition inf-sup discrète. On peut également appliquer ce résultat à la discrétisation du système de Stokes en vitesse-pression [7].

We consider the discretization of Maxwell equations, proposed in [3,2,1]. The electromagnetic field and the Lagrange multiplier related to its divergence are approximated numerically by the P2-iso-P1 Taylor–Hood Finite Element. Singular test-functions are added when the domain is non-convex, with a non-smooth boundary. The aim of this Note is to establish a discrete inf-sup condition. The result can be applied to the discretization of the velocity-pressure Stokes system [7].

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02564-5
Patrick Ciarlet 1 ; Vivette Girault 2

1 ENSTA/UMA, 32 boulevard Victor, 75739 Paris cedex 15, France
2 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université P. & M. Curie, 75252 Paris cedex 05, France 
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Patrick Ciarlet; Vivette Girault. Condition inf-sup pour l'élément fini de Taylor–Hood P2-iso-P1, 3-D ; application aux équations de Maxwell. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 10, pp. 827-832. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02564-5. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02564-5/

[1] F. Assous; P. Ciarlet; E. Garcia Résolution des équations de Maxwell instationnaires avec charge dans un domaine singulier bidimensionnel, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 330 (2000), pp. 391-396

[2] F. Assous; P. Ciarlet; E. Sonnendrücker Resolution of the Maxwell equations in a domain with reentrant corners, Math. Mod. Num. Anal, Volume 32 (1998), pp. 359-389

[3] F. Assous; P. Degond; E. Heintzé; P.-A. Raviart; J. Segré On a finite-element method for solving the three-dimensional Maxwell equations, J. Comput. Phys, Volume 109 (1993), pp. 222-237

[4] F. Brezzi; M. Fortin Mixed and Hybrid Finite Element Methods, Springer, New York, 1991

[5] P.G. Ciarlet Basic error estimates for elliptic problems (P.G. Ciarlet; J.-L. Lions, eds.), Handbook of Numerical Analysis, II, North-Holland, 1991, pp. 17-351

[6] M. Costabel A coercive bilinear form for Maxwell's equations, J. Math. Anal. Appl, Volume 157 (1991), pp. 527-541

[7] V. Girault; P.-A. Raviart Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations, Springer Series in Computational Mathematics, Springer, Berlin, 1986

[8] V. Girault, L.R. Scott, A quasi-local interpolation operator preserving the discrete divergence, soumis à Calcolo

[9] L.R. Scott; S. Zhang Finite element interpolation of non-smooth functions satisfying boundary conditions, Math. Comput, Volume 54 (1990), pp. 483-493

[10] R. Verfürth Error estimate for a mixed finite element approximation of the Stokes problem, RAIRO Anal. Numér, Volume 18 (1984), pp. 175-182

[11] C. Weber A local compactness theorem for Maxwell's equations, Math. Meth. Appl. Sci, Volume 2 (1980), pp. 12-25

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