Comptes Rendus
no. 1
Partial Differential Equations
Travelling fronts in integrodifferential equations
[Fronts Progressifs dans les équations intégro-différentielles]

Présenté par : Haïm Brézis

Jérome Coville1 ; Louis Dupaigne1
1 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Paris VI, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 1, pp. 25-30.

On présente plusieurs résultats concernant les solutions de type front progressif dans des équations de réaction–diffusion intégro-différentielles 1D faisant intervenir divers types de non-linéarités (bistable, ignition, monostable). On étend à ces équations des résultats connus dans le cadre d'une équation de réaction–diffusion usuelle : l'existence de telles solutions est notemment démontrée pour les trois types de nonlinéarités citées. L'unicité et quelques formules caractérisant la vitesse de ces fronts sont aussi établies dans certains cas.

We provide results of the existence, uniqueness and asymptotic behavior of travelling-wave solutions for convolution equations involving different kinds of nonlinearities (bistable, ignition and monostable). We recover for these equations most of the known results about the standard equation ∂u ∂t+u″+f(u)=0. Some min–max formulas are also given.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00216-4
Jérome Coville 1 ; Louis Dupaigne 1

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Jérome Coville; Louis Dupaigne. Travelling fronts in integrodifferential equations. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 1, pp. 25-30. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00216-4. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00216-4/

[1] P.W. Bates; P.C. Fife; X. Ren; X. Wang Travelling waves in a convolution model for phase transition, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 138 (1997), pp. 105-136

[2] H. Berestycki; B. Larrouturou; J.M. Roquejoffre Stability of travelling fronts in a model for flame propagation. I. Linear analysis, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 117 (1992) no. 2, pp. 97-117

[3] H. Berestycki; B. Nikolaenko; B. Sheurer Travelling wave solutions to combustion models and their singular limits, SIAM J. Math. Anal., Volume 16 (1985) no. 6, pp. 1207-1242

[4] H. Berestycki; L. Nirenberg Travelling fronts in cynlinder, Ann. Inst. H. Poincaré, Volume 9 (1992), pp. 497-572

[5] H. Berestycki; L. Nirenberg On the method of moving planes and the slidding method, Bol. Soc. Brasil. Mat., Volume 22 (1991) no. 1, pp. 1-37

[6] X. Chen Existence, uniqueness and asymptotic stability of travelling fronts in non-local evolution equations, Adv. Differential Equation, Volume 2 (1997), pp. 125-160

[7] J. Coville, Travelling waves in a non-local combustion model, Preprint

[8] J. Coville, L. Dupaigne, Nonlocal population dynamics, Preprint

[9] J. Coville, L. Dupaigne, Front speeds in nonlocal reaction–diffusion equations, Preprint

[10] P. Fife; J.B. McLeod The approach of solutions of nonlinear diffusion equation to travelling front solutions, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 65 (1977), pp. 335-361

[11] R.A. Fisher The Genetical Theory of Natural Selection, Oxford University Press, Oxford, 1999

[12] P.E. Souganidis Front Propagation: Theory and Applications, C.I.M.E. Lectures, 1995

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