On a Liouville-type comparison principle for solutions of quasilinear elliptic inequalities

Vasilii V. Kurta

doi:10.1016/S1631-073X(03)00225-5

Partial Differential Equations

On a Liouville-type comparison principle for solutions of quasilinear elliptic inequalities
[Sur un principe de comparaison de type Liouville pour des solutions d'inégalités elliptiques quasi-linéaires]

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Vasilii V. Kurta ¹

¹ Mathematical Reviews, 416, Fourth Street, PO Box 8604, Ann Arbor, MI 48107-8604, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 11, pp. 897-900.

Résumé
Abstract

On caractérise en terme de monotonie, des propriétés fondamentales d'opérateurs aux dérivées partielles, elliptiques, quasi-linéaires permettant d'établir un principe de comparaison de type Liouville, des solutions faibles d'inégalités aux dérivée partielles, elliptiques, quasi-linéaires de la forme A(u)+|u|^q−1u⩽A(v)+|v|^q−1v. Ces solutions appartiennent seulement localement aux espaces de Sobolev correspondant dans $ℝ^{n}, n ⩾ 2$ . On montre que ces propriétés sont valables pour une large classe d'opérateurs aux dérivées partielles elliptiques, quasi-linéaires. Des exemples typiques de tels opérateurs sont le p-laplacien et ses modifications bien connues pour 1<p⩽2.

We characterize in terms of monotonicity basic properties of quasilinear elliptic partial differential operators which make it possible to obtain a Liouville-type comparison principle for entire solutions of quasilinear elliptic partial differential inequalities of the form A(u)+|u|^q−1u⩽A(v)+|v|^q−1v, which belong only locally to the corresponding Sobolev spaces on $ℝ^{n}, n ⩾ 2$ . We establish that such properties are inherent for a wide class of quasilinear elliptic partial differential operators. Typical examples of such operators are the p-Laplacian and its well-known modifications for 1<p⩽2.

Reçu le : 2003-01-06
Accepté le : 2003-04-01
Publié le : 2003-06-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00225-5

Affiliations des auteurs :

Vasilii V. Kurta ¹

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Vasilii V. Kurta. On a Liouville-type comparison principle for solutions of quasilinear elliptic inequalities. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 11, pp. 897-900. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00225-5. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00225-5/

Bibliographie
Cité par

[1] J. Heinonen; T. Kilpeläinen; O. Martio Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993

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[3] V.V. Kurta Comparison principle for solutions of parabolic inequalities, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, Volume 322 (1996), pp. 1175-1180

[4] V.V. Kurta Comparison principle and analogues of the Phragmén–Lindelöf theorem for solutions of parabolic inequalities, Appl. Anal., Volume 71 (1999), pp. 301-324

[5] J.-L. Lions Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Gauthier-Villars, Paris, 1969

[6] V.M. Miklyukov Capacity and a generalized maximum principle for quasilinear equations of elliptic type, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 250 (1980), pp. 1318-1320

Cité par Sources :

^☆ This work was reported by the author at the 981st AMS Meeting in October, 2002.

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