[La polyconvexité est équivalente à la 1-rang convexité pour les ensembles isotropiques et connexes dans M2×2]
Nous donnons un argument simple montrant que pour les ensembles connexes et compacts dans M2×2 qui sont invariants sous les actions à gauche et à droite de SO(2) la polyconvexité est équivalente à la 1-rang convéxité et même à la lamination-convexité. Comme corollaire la même chose est vraie pour les ensembles compacts O(2)-invariants. Ces résultats ont été démontrés par Cardaliaguet et Tahraoui pour la première fois. Nous donnons aussi un exemple montrant que l'hypothèse de connectivité est nécessaire pour le cas SO(2).
We give a short, self-contained argument showing that, for compact connected sets in which are invariant under the left and right action of SO(2), polyconvexity is equivalent to rank-one convexity (and even to lamination convexity). As a corollary, the same holds for O(2)-invariant compact sets. These results were first proved by Cardaliaguet and Tahraoui. We also give an example showing that the assumption of connectedness is necessary in the SO(2) case.
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Sergio Conti 1 ; Camillo De Lellis 1 ; Stefan Müller 1 ; Mario Romeo 1
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Sergio Conti; Camillo De Lellis; Stefan Müller; Mario Romeo. Polyconvexity equals rank-one convexity for connected isotropic sets in $ \mathbb{M}^{\mathrm{2\times 2}}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 4, pp. 233-238. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00333-9. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00333-9/
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