[La polyconvexité est équivalente à la 1-rang convexité pour les ensembles isotropiques et connexes dans M2×2]
Nous donnons un argument simple montrant que pour les ensembles connexes et compacts dans M2×2 qui sont invariants sous les actions à gauche et à droite de SO(2) la polyconvexité est équivalente à la 1-rang convéxité et même à la lamination-convexité. Comme corollaire la même chose est vraie pour les ensembles compacts O(2)-invariants. Ces résultats ont été démontrés par Cardaliaguet et Tahraoui pour la première fois. Nous donnons aussi un exemple montrant que l'hypothèse de connectivité est nécessaire pour le cas SO(2).
We give a short, self-contained argument showing that, for compact connected sets in which are invariant under the left and right action of SO(2), polyconvexity is equivalent to rank-one convexity (and even to lamination convexity). As a corollary, the same holds for O(2)-invariant compact sets. These results were first proved by Cardaliaguet and Tahraoui. We also give an example showing that the assumption of connectedness is necessary in the SO(2) case.
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Sergio Conti; Camillo De Lellis; Stefan Müller; Mario Romeo. Polyconvexity equals rank-one convexity for connected isotropic sets in $ \mathbb{M}^{\mathrm{2\times 2}}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 4, pp. 233-238. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00333-9. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00333-9/
[1] Sur la faible fermeture de certains ensembles de contraintes en élasticité non-linéare plane, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A–B, Volume 290 (1980), p. A537-A540
[2] Sur la faible fermeture de certains ensembles de contraintes en élasticité non-linéare plane, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 97 (1987), pp. 33-58
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[4] Equivalence between rank-one convexity and polyconvexity for isotropic sets of (part I), Nonlinear Anal., Volume 50 (2002), pp. 1179-1199
[5] Equivalence between rank-one convexity and polyconvexity for isotropic sets of (part II), Nonlinear Anal., Volume 50 (2002), pp. 1201-1239
[6] Variational models for microstructure and phase transitions (F. Bethuel et al., eds.), Calculus of Variations and Geometric Evolution Problems, Lecture Notes in Math., 1713, Springer, Berlin, 1999, pp. 85-210
[7] Rotationally invariant rank 1 convex functions, Appl. Math. Optim., Volume 44 (2001), pp. 1-15
[8] Examples of rank-one convex functions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, Volume 114 (1990), pp. 237-242
Cité par Sources :
Commentaires - Politique
An example of a C1,1 polyconvex function with no differentiable convex representative
Jonathan Bevan
C. R. Math (2003)
A notion of polyconvex function on a surface suggested by nonlinear shell theory
Philippe G. Ciarlet; Radu Gogu; Cristinel Mardare
C. R. Math (2011)