Comptes Rendus
no. 6
Équations aux dérivées partielles
Solutions de type multi-soliton des équations de KdV généralisées

Présenté par : Haïm Brézis

Yvan Martel1
1 Centre de mathématiques, École polytechnique, 91128 Palaiseau cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 6, pp. 457-460.

On considère les équations de Korteweg–de Vries généralisées dans les cas sous-critique et critique. Soit R j (t,x)=Q c j (x-c j t-x j )N solutions de type solitons de l'équation, correspondant à des vitesses 0<c1<c2<⋯<cN. Dans cette Note, on donne les idées principales de la démonstration du résultat suivant. Etant donnés {c j },{x j }, il existe une et une seule solution ϕ de l'équation de KdV généralisée telle que ‖ϕ(t)−∑Rj(t)‖H1→0 quand t→+∞. Les preuves complètes seront publiées plus tard.

We consider the generalized Korteweg–de Vries equations in the subcritical and critical cases. Let Rj(t,x)=Qcj(x−cjt−xj) be N soliton solutions of this equation, with corresponding speeds 0<c1<c2<⋯<cN. In this Note, we give a sketch of the proof of the following result. Given {c j },{x j }, there exists one and only one solution ϕ of the generalized KdV equation such that ‖ϕ(t)−∑Rj(t)‖H1→0 as t→+∞. Complete proofs will appear later.

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DOI : 10.1016/j.crma.2003.12.029
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Yvan Martel. Solutions de type multi-soliton des équations de KdV généralisées. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 6, pp. 457-460. doi : 10.1016/j.crma.2003.12.029. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.12.029/

[1] C.E. Kenig; G. Ponce; L. Vega Well-posedness and scattering results for the generalized Korteweg–de Vries equation via the contraction principle, Comm. Pure Appl. Math., Volume 46 (1993), pp. 527-620

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[5] Y. Martel; F. Merle Blow up in finite time and dynamics of blow up solutions for the L2-critical generalized KdV equations, J. Amer. Math. Soc., Volume 15 (2002), pp. 617-664

[6] Y. Martel; F. Merle; T.-P. Tsai Stability and asymptotic stability in the energy space of the sum of N solitons for subcritical gKdV equations, Commun. Math. Phys., Volume 231 (2002), pp. 347-373

[7] F. Merle Construction of solutions with exactly k blow-up points for the Schrödinger equation with critical nonlinearity, Commun. Math. Phys., Volume 129 (1990), pp. 223-240

[8] F. Merle Existence of blow-up solutions in the energy space for the critical generalized Korteweg–de Vries equation, J. Amer. Math. Soc., Volume 14 (2001), pp. 555-578

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