Un problème de type Yamabe sur les variétés spinorielles compactes

Bernd Ammann; Emmanuel Humbert; Bertrand Morel

doi:10.1016/j.crma.2004.03.018

Géometrie différentielle/Analyse mathématique

Un problème de type Yamabe sur les variétés spinorielles compactes
[A Yamabe type problem on compact spin manifolds]

Presented by: Marcel Berger

Bernd Ammann ¹; Emmanuel Humbert ²; Bertrand Morel ²

¹ Mathematisches Institut, Universität Bonn, Zimmer 22 Beringstrasse 1, 53115 Bonn, Allemagne
² Institut Élie Cartan BP 239, Université de Nancy 1, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 12, pp. 929-934.

Abstract
Résumé

Let (M,g,σ) be a compact spin manifold of dimension n⩾2. Let $λ_{1}^{+} (\tilde{g})$ be the smallest positive eigenvalue of the Dirac operator in the metric $\tilde{g} \in [g]$ conformal to g. We then define $λ_{\min}^{+} (M, [g], σ) = \inf_{\tilde{g} \in [g]} λ_{1}^{+} (\tilde{g}) Vol {(M, \tilde{g})}^{1 / n}$ . We show that $0 < λ_{\min}^{+} (M, [g], σ) ⩽ λ_{\min}^{+} (𝕊^{n})$ . We find sufficient conditions for which we obtain strict inequality $λ_{\min}^{+} (M, [g], σ) < λ_{\min}^{+} (𝕊^{n})$ . This strict inequality has applications to conformal spin geometry.

Soit (M,g,σ) une variété spinorielle compacte de dimension n⩾2. On note $λ_{1}^{+} (\tilde{g})$ la plus petite valeur propre >0 de l'opérateur de Dirac dans la métrique $\tilde{g} \in [g]$ conforme à g. On définit $λ_{\min}^{+} (M, [g], σ) = \inf_{\tilde{g} \in [g]} λ_{1}^{+} (\tilde{g}) Vol {(M, \tilde{g})}^{1 / n}$ . On montre que $0 < λ_{\min}^{+} (M, [g], σ) ⩽ λ_{\min}^{+} (𝕊^{n})$ . On trouve des conditions suffisantes pour lesquelles on obtient l'inégalité stricte $λ_{\min}^{+} (M, [g], σ) < λ_{\min}^{+} (𝕊^{n})$ . Cette inégalité stricte a des applications en géométrie spinorielle conforme.

Received: 2004-02-16
Accepted: 2004-03-16
Published online: 2004-04-24

DOI: 10.1016/j.crma.2004.03.018

Author's affiliations:

Bernd Ammann ¹; Emmanuel Humbert ²; Bertrand Morel ²

¹ Mathematisches Institut, Universität Bonn, Zimmer 22 Beringstrasse 1, 53115 Bonn, Allemagne
² Institut Élie Cartan BP 239, Université de Nancy 1, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy cedex, France

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Bernd Ammann; Emmanuel Humbert; Bertrand Morel. Un problème de type Yamabe sur les variétés spinorielles compactes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 12, pp. 929-934. doi : 10.1016/j.crma.2004.03.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.03.018/

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