Comptes Rendus
no. 12
Group Theory
Some finiteness results for groups with bounded algebraic entropy
[Quelques résultats de finitude pour les groupes d'entropie algébrique bornée]

Présenté par : Étienne Ghys

Fabio Zuddas1, 2
1 Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Cagliari, Via Ospedale 72, 09124 Cagliari, Italy
2 Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS, Université de Grenoble 1, BP 74, 38402 Saint Martin d'Hères cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 12, pp. 915-920.

On démontre le fait suivant : le nombre d'éléments de toute partie génératrice S de n'importe quel groupe discret G est majoré si on suppose l'entropie algébrique de G par rapport à S plus petite qu'une certaine constante universelle et l'existence d'un sous-groupe de G d'indice fini ayant certaines propriétés d'hyperbolicité. On en déduit des résultats de finitude pour les couples (G,S) lorsqu'il existe un système de relations de longueurs (universellement) bornées, comme c'est le cas pour les groupes hyperboliques ou pour les groupes fondamentaux de variétés. Dans ce dernier cas, les résultats ont un intérêt géométrique.

We prove the following fact: the number of elements of any generating set S of a discrete group G is bounded from above if we assume that the algebraic entropy of G with respect to S is smaller than some universal constant and the existence of a finite index subgroup of G with some hyperbolicity properties. We deduce some finiteness results for the pairs (G,S) when there exists a system of relations of (universally) bounded length, as it is the case for word hyperbolic groups or fundamental groups of manifolds. In this last case, the results are of geometric interest.

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DOI : 10.1016/j.crma.2004.04.008
Fabio Zuddas 1, 2

1 Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Cagliari, Via Ospedale 72, 09124 Cagliari, Italy
2 Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS, Université de Grenoble 1, BP 74, 38402 Saint Martin d'Hères cedex, France 
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Fabio Zuddas. Some finiteness results for groups with bounded algebraic entropy. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 12, pp. 915-920. doi : 10.1016/j.crma.2004.04.008. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.04.008/

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