Comptes Rendus
no. 11
Équations différentielles
Valuations invariantes pour l'action des groupes de Galois différentiels

Présenté par : Bernard Malgrange

Guillaume Duval1
1 Manoir des Trois Pierres, 76430 Saint Romain de Colbosc, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 11, pp. 763-768.

Soit (F/K,∂) une extension de corps différentiels, de groupe de Galois différentiel G=Gal∂(F/K). Pour l'action naturelle de G sur la variété de Riemann–Zariski S⋆=S⋆(F/K) de l'extension F/K, nous étudions les valuations invariantes ν∈(S⋆)G quand elles existent. Nous exhibons les relations entre ces valuations invariantes et les éléments de F holonomes sur K. Puis, nous examinons la continuité de la dérivation ∂ par rapport aux topologies ν-adiques. Nous donnons une propriété de structure géométrique des valuations invariantes, inspirée d'un résultat de Zariski. Enfin nous répondons au problème de l'existence des valuations invariantes dans le contexte des extensions de Picard–Vessiot.

Let (F/K,∂) be a differential field extension with differential Galois group G=Gal∂(F/K). For the natural action of G on the Riemann–Zariski variety S⋆=S⋆(F/K) of the field extension F/K, we study the invariant valuations ν∈(S⋆)G when they do exist. We show close relations between these invariant valuations and the elements of F holonomic over K. Next, we study the continuity of the derivation ∂ with respect to these ν-adic topologies. We give a geometric structure property of G-invariant valuation inspired by Zariski. Finally, we give an answer for the existence problem of invariant valuations in the context of Picard–Vessiot extension.

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DOI : 10.1016/j.crma.2004.05.021
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