Comptes Rendus
Équations différentielles
Valuations invariantes pour l'action des groupes de Galois différentiels
[Invariant valuations for differential Galois group action.]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 11, pp. 763-768.

Let (F/K,) be a differential field extension with differential Galois group G=Gal(F/K). For the natural action of G on the Riemann–Zariski variety S=S(F/K) of the field extension F/K, we study the invariant valuations ν(S)G when they do exist. We show close relations between these invariant valuations and the elements of F holonomic over K. Next, we study the continuity of the derivation ∂ with respect to these ν-adic topologies. We give a geometric structure property of G-invariant valuation inspired by Zariski. Finally, we give an answer for the existence problem of invariant valuations in the context of Picard–Vessiot extension.

Soit (F/K,) une extension de corps différentiels, de groupe de Galois différentiel G=Gal(F/K). Pour l'action naturelle de G sur la variété de Riemann–Zariski S=S(F/K) de l'extension F/K, nous étudions les valuations invariantes ν(S)G quand elles existent. Nous exhibons les relations entre ces valuations invariantes et les éléments de F holonomes sur K. Puis, nous examinons la continuité de la dérivation ∂ par rapport aux topologies ν-adiques. Nous donnons une propriété de structure géométrique des valuations invariantes, inspirée d'un résultat de Zariski. Enfin nous répondons au problème de l'existence des valuations invariantes dans le contexte des extensions de Picard–Vessiot.

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DOI: 10.1016/j.crma.2004.05.021
Guillaume Duval 1

1 Manoir des Trois Pierres, 76430 Saint Romain de Colbosc, France
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Guillaume Duval. Valuations invariantes pour l'action des groupes de Galois différentiels. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 11, pp. 763-768. doi : 10.1016/j.crma.2004.05.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.05.021/

[1] S. Encinas; O. Villamayor A course on constructive desingularisation and equivariance, Resolution of Singularities, Progr. Math., vol. 181, Birkhäuser, Basel, 2000, pp. 147-225

[2] E.R. Kolchin Differential Algebra and Algebraic Groups, Academic Press, New York, London, 1973

[3] A.R. Magid Lectures on Differential Galois Theory, Amer. Math. Soc. Col. Univ. Lectures Ser., vol. 7, 1994

[4] M. Matsuda First Order Algebraic Differential Equations, Lecture Notes in Math., vol. 804, Springer-Verlag, 1980

[5] Morrison Continous derivation, J. Algebra, Volume 110 (1987), pp. 468-479

[6] M. Raynaud Anneaux locaux henséliens, Lecture Notes in Math., vol. 169, Springer-Verlag, Berlin, 1970

[7] M. Rosenlicht An analogue of l'Hôpital's rule, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 37 (1973) no. 2

[8] M. Rosenlicht Differential valuations, Pacific J. Math., Volume 86 (1980), pp. 301-309

[9] A. Seidenberg Contribution to Algebra, Academic Press, New York, 1977

[10] M. Singer Solutions of linear differential equations in function fields of one variable, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 54 (1976) no. 2

[11] O. Zariski; P. Samuel Conmutative Algebra, The University Series in Higher Mathematics, vol. II, Van Nostrand, 1960

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