Comptes Rendus
no. 5
Théorie des groupes/Géométrie algébrique
Résolutions flasques des groupes réductifs connexes

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Jean-Louis Colliot-Thélène1
1 CNRS UMR 8628, mathématiques, bâtiment 425, université Paris-Sud, 91405 Orsay, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 5, pp. 331-334.

Tout groupe réductif connexe G sur un corps k (de caractéristique nulle) peut s'écrire comme un quotient H/S, où S est un k-tore flasque central dans un k-groupe réductif H extension d'un k-tore quasitrivial par un k-groupe semisimple simplement connexe. De telles présentations de G permettent de simplifier l'étude du groupe G(k) des points rationnels de G, de la cohomologie galoisienne de G et du groupe de Brauer d'une compactification lisse de G.

A connected reductive group G over a (characteristic zero) field k may be written as a quotient H/S, where the k-group H is an extension of a quasitrivial torus by a simply connected group, and S is a flasque k-torus, central in H. Such presentations G=H/S lead to a simplified approach to the Galois cohomology of G and related objects, such as the Brauer group of a smooth compactification of G. When k is a number field, one also recovers known formulas, in terms of S, for the quotient of the group G(k) of rational points by R-equivalence, and for the Abelian groups which measure the lack of weak approximation and the failure of the Hasse principle for principal homogeneous spaces.

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DOI : 10.1016/j.crma.2004.06.012
Jean-Louis Colliot-Thélène 1

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Jean-Louis Colliot-Thélène. Résolutions flasques des groupes réductifs connexes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 5, pp. 331-334. doi : 10.1016/j.crma.2004.06.012. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.06.012/

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[3] M. Borovoi; B. Kunyavskiıˇ Arithmetical birational invariants of linear algebraic groups over two-dimensional geometric fields, with an appendix by P. Gille, J. Algebra, Volume 276 (2004), pp. 292-339

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[5] J.-L. Colliot-Thélène; P. Gille; R. Parimala Arithmetic of linear algebraic groups over 2-dimensional geometric fields, Duke Math. J., Volume 121 (2004), pp. 285-341

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[9] P. Gille Cohomologie galoisienne des groupes quasidéployés sur des corps de dimension cohomologique ⩽2, Compositio Math., Volume 125 (2001), pp. 283-325

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