Comptes Rendus
Théorie des nombres/Analyse mathématique
Applications aux sommes elliptiques d'Apostol–Dedekind–Zagier
[Applications to elliptic Apostol–Dedekind–Zagier sums.]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 8, pp. 529-532.

In this Note, we give two applications to our work [Bayad, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004); DOI: 10.1016/j.crma.2004.07.018] concerning multiple elliptic Apostol–Dedekind–Zagier sums. These elliptic sums are defined by means of certain Jacobi modular forms of two variables Dτ(z;φ). When Im(τ), these elliptic sums give the classical Apostol–Dedekind–Zagier multiple sums [Apostol, Duke Math. J. 17 (1950) 147–157, Pacific. J. Math 2 (1952) 1–9; Zagier, Math. Ann, 202 (1973) 149–172]. We give a reciprocity law for these sums.

Dans cette Note, nous donnons deux applications aux sommes multiples elliptiques d'Apostol–Dedekind–Zagier dj étudiées [Bayad, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) ; DOI : 10.1016/j.crma.2004.07.018]. Ces sommes sont définies à partir de certaines formes de Jacobi de deux variables Dτ(z;φ), où τ est dans le demi-plan de Poincaré. Pour φ fixé et Im(τ), ces sommes elliptiques redonnent les sommes multiples classiques de Dedekind étudiées par Zagier [Math. Ann. 202 (1973) 149–172], ainsi que les sommes d'Apostol [Duke Math. J. 17 (1950) 147–157 ; Pacific. J. Math. 2 (1952) 1–9]. Nous explicitons une loi de réciprocité à la Dedekind satisfaite par ces sommes classiques.

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DOI: 10.1016/j.crma.2004.07.019
Abdelmejid Bayad 1

1 Université d'Evry Val d'Essonne, département de mathématiques, boulevard F. Mitterrand, 91025 Evry, France
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Abdelmejid Bayad. Applications aux sommes elliptiques d'Apostol–Dedekind–Zagier. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 8, pp. 529-532. doi : 10.1016/j.crma.2004.07.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.07.019/

[1] T.M. Apostol Generalized Dedekind sums and transformation formulae of certain Lambert series, Duke Math. J., Volume 17 (1950), pp. 147-157

[2] T.M. Apostol Theorems on generalized Dedekind sums, Pacific J. Math., Volume 2 (1952), pp. 1-9

[3] A. Bayad Sommes elliptiques multiples d'Apostol–Dedekind–Zagier, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 339 (2004) | DOI

[4] F. Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry, Springer, Berlin, 1966

[5] D. Zagier Higher order Dedekind sums, Math. Ann., Volume 202 (1973), pp. 149-172

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