Sums of Dirac masses and conditioned ubiquity

Julien Barral; Stéphane Seuret

doi:10.1016/j.crma.2004.10.001

Probability Theory

Sums of Dirac masses and conditioned ubiquity
[Sommes de masses de Dirac et ubiquité conditionnée.]

Présenté par : Yves Meyer

Julien Barral ¹ ; Stéphane Seuret ¹

¹ Équipe complex, INRIA Rocquencourt, B.P. 105, 78153 Le Chesnay cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 11, pp. 787-792.

Résumé
Abstract

Les formalismes multifractals sont vérifiés par certaines classes de mesures diffuses μ limites de processus multiplicatifs. Cela pose naturellement la question de savoir s'ils le sont encore pour des mesures non diffuses non triviales. C'est effectivement le cas pour des mesures d'un type nouveau, qui mêlent chaos additifs et multiplicatifs. Cette classe de mesures est définie par $ν_{γ, σ} = \sum_{j ⩾ 1} b^{- j γ} / j^{2} \sum_{k = 0}^{b^{j} - 1} μ ([k b^{- j}, {(k + 1) b^{- j}))}^{σ} δ_{k b^{- j}}$ ( $supp (μ) = [0, 1], b$ entier $⩾ 2, γ ⩾ 0, σ ⩾ 1$ ). Sous certaines hypothèses sur μ, plusieurs formalismes multifractals sont en effet satisfaits par $ν_{γ, σ}$ . De plus, son spectre multifractal de Hausdorff $h \mapsto d_{ν_{γ, σ}} (h)$ se compose alors d'une partie linéaire pour h plus petit qu'une valeur critique $h_{γ, σ}$ , puis d'une partie concave pour $h ⩾ h_{γ, σ}$ . Cette propriété est partagée par le spectre de Hausdorff de séries de fonctions $f_{γ, σ}$ construites de façon analogue à $ν_{γ, σ}$ . L'analyse des singularités de ces objets fait appel à de nouveaux résultats combinant la notion d'ubiquité avec les propriétés d'auto-similarité de la mesure μ.

Multifractal formalisms hold for certain classes of atomless measures μ obtained as limits of multiplicative processes. This naturally leads us to ask whether non trivial discontinuous measures obey such formalisms. This is the case for a new kind of measures, whose construction combines additive and multiplicative chaos. This class is defined by $ν_{γ, σ} = \sum_{j ⩾ 1} b^{- j γ} / j^{2} \sum_{k = 0}^{b^{j} - 1} μ ([k b^{- j}, {(k + 1) b^{- j}))}^{σ} δ_{k b^{- j}}$ ( $supp (μ) = [0, 1], b$ integer $⩾ 2, γ ⩾ 0, σ ⩾ 1$ ). Under suitable assumptions on the initial measure μ, $ν_{γ, σ}$ obeys some multifractal formalisms. Its Hausdorff multifractal spectrum $h \mapsto d_{ν_{γ, σ}} (h)$ is composed of a linear part for h smaller than a critical value $h_{γ, σ}$ , and then of a concave part when $h ⩾ h_{γ, σ}$ . The same properties hold for the Hausdorff spectrum of some function series $f_{γ, σ}$ constructed according to the same scheme as $ν_{γ, σ}$ . These phenomena are the consequences of new results relating ubiquitous systems to the distribution of the mass of μ.

Reçu le : 2004-05-24
Accepté le : 2004-09-28
Publié le : 2004-11-10

DOI : 10.1016/j.crma.2004.10.001

Affiliations des auteurs :

Julien Barral ¹ ; Stéphane Seuret ¹

¹ Équipe complex, INRIA Rocquencourt, B.P. 105, 78153 Le Chesnay cedex, France

@article{CRMATH_2004__339_11_787_0,
     author = {Julien Barral and St\'ephane Seuret},
     title = {Sums of {Dirac} masses and conditioned ubiquity},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {787--792},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {339},
     number = {11},
     year = {2004},
     doi = {10.1016/j.crma.2004.10.001},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Julien Barral
AU  - Stéphane Seuret
TI  - Sums of Dirac masses and conditioned ubiquity
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2004
SP  - 787
EP  - 792
VL  - 339
IS  - 11
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2004.10.001
LA  - en
ID  - CRMATH_2004__339_11_787_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Julien Barral
%A Stéphane Seuret
%T Sums of Dirac masses and conditioned ubiquity
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2004
%P 787-792
%V 339
%N 11
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2004.10.001
%G en
%F CRMATH_2004__339_11_787_0

Julien Barral; Stéphane Seuret. Sums of Dirac masses and conditioned ubiquity. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 11, pp. 787-792. doi : 10.1016/j.crma.2004.10.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.10.001/

Bibliographie
Cité par

[1] J. Barral, S. Seuret, From multifractal measures to multifractal wavelet series, Preprint, 2002

[2] J. Barral, S. Seuret, Combining multifractal additive and multiplicative chaos, Commun. Math. Phys., in press

[3] J. Barral; S. Seuret Functions with multifractal variations, Math. Nachr., Volume 274–275 (2004), pp. 3-18

[4] J. Barral, S. Seuret, Heterogeneous ubiquitous systems in $R^{d}$ and Hausdorff dimension, Preprint, 2004

[5] J. Barral, S. Seuret, Speed of renewal of level sets for statistically self-similar measures, Preprint, 2004

[6] G. Brown; G. Michon; J. Peyrière On the multifractal analysis of measures, J. Statist. Phys., Volume 66 (1992) no. 3–4, pp. 775-790

[7] M.M. Dodson; M.V. Melián; D. Pestane; S.L. Vélani Patterson measure and ubiquity, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., Volume 20 (1995) no. 1, pp. 37-60

[8] H. Eggleston The fractional dimension of a set defined by decimal properties, Quart. J. Math. Oxford Ser., Volume 20 (1949), pp. 31-36

[9] S. Jaffard Exposants de Hölder en des points donnés et coefficients d'ondelettes, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 308 (1989), pp. 79-81

[10] S. Jaffard The multifractal nature of Lévy processes, Probab. Theory Related Fields, Volume 114 (1999) no. 2, pp. 207-227

[11] S. Jaffard On lacunary wavelet series, Ann. Appl. Probab., Volume 10 (2000) no. 1, pp. 313-329

[12] C. Jordan Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 92 (1881), pp. 228-230

[13] J.P. Kahane Some Random Series of Functions, Cambridge Univ. Press, 1985

[14] Y. Meyer Ondelettes et Opérateurs, Hermann, 1990

[15] L. Olsen A multifractal formalism, Adv. Math., Volume 116 (1995), pp. 92-195

Cité par Sources :

Commentaires - Politique