Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré

Stéphane Fischler

doi:10.1016/j.crma.2004.10.009

Théorie des nombres

Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré

Présenté par : Christophe Soulé

Stéphane Fischler ¹

¹ D.M.A., E.N.S., 45, rue d'Ulm, 75230 Paris cedex 05, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 10, pp. 679-682.

Résumé
Abstract

Notons $α (ξ)$ l'exposant qui mesure comment un nombre réel non quadratique ξ et son carré peuvent être approchés simultanément par des nombres rationnels de même dénominateur. Davenport et Schmidt ont démontré que $α (ξ)$ est toujours compris (au sens large) entre le nombre d'or γ et 2. Roy, puis Bugeaud et Laurent, ont construit à l'aide de mots ayant beaucoup de préfixes palindromes des réels ξ tels que $α (ξ) < 2$ . Dans ce texte, on définit de nouveaux exposants d'approximation qui permettent, dans une certaine mesure, de caractériser les valeurs de $α (ξ)$ obtenues par ces auteurs.

Let $α (ξ)$ be the exponent that measures how a non-quadratic real number ξ and its square can be simultaneously approximated by rational numbers with the same denominator. Davenport and Schmidt have proved that $α (ξ)$ is always between the golden ratio γ and 2. Roy, and after him Bugeaud and Laurent, have constructed numbers ξ such that $α (ξ) < 2$ . Their method involves infinite words with many palindrome prefixes. In this text, we define new exponents of approximation that allow us to obtain, to some extent, a characterization of the values $α (ξ)$ obtained by these authors.

Reçu le : 2004-02-13
Accepté le : 2004-10-04
Publié le : 2004-11-05

DOI : 10.1016/j.crma.2004.10.009

Affiliations des auteurs :

Stéphane Fischler ¹

¹ D.M.A., E.N.S., 45, rue d'Ulm, 75230 Paris cedex 05, France

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Stéphane Fischler. Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 10, pp. 679-682. doi : 10.1016/j.crma.2004.10.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.10.009/

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