Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré

Stéphane Fischler

doi:10.1016/j.crma.2004.10.009

Théorie des nombres

Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré

Présenté par : Christophe Soulé

Stéphane Fischler ¹

¹ D.M.A., E.N.S., 45, rue d'Ulm, 75230 Paris cedex 05, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 10, pp. 679-682.

Résumé
Abstract

Notons $α (ξ)$ l'exposant qui mesure comment un nombre réel non quadratique ξ et son carré peuvent être approchés simultanément par des nombres rationnels de même dénominateur. Davenport et Schmidt ont démontré que $α (ξ)$ est toujours compris (au sens large) entre le nombre d'or γ et 2. Roy, puis Bugeaud et Laurent, ont construit à l'aide de mots ayant beaucoup de préfixes palindromes des réels ξ tels que $α (ξ) < 2$ . Dans ce texte, on définit de nouveaux exposants d'approximation qui permettent, dans une certaine mesure, de caractériser les valeurs de $α (ξ)$ obtenues par ces auteurs.

Let $α (ξ)$ be the exponent that measures how a non-quadratic real number ξ and its square can be simultaneously approximated by rational numbers with the same denominator. Davenport and Schmidt have proved that $α (ξ)$ is always between the golden ratio γ and 2. Roy, and after him Bugeaud and Laurent, have constructed numbers ξ such that $α (ξ) < 2$ . Their method involves infinite words with many palindrome prefixes. In this text, we define new exponents of approximation that allow us to obtain, to some extent, a characterization of the values $α (ξ)$ obtained by these authors.

Reçu le : 2004-02-13
Accepté le : 2004-10-04
Publié le : 2004-11-05

DOI : 10.1016/j.crma.2004.10.009

Affiliations des auteurs :

Stéphane Fischler ¹

¹ D.M.A., E.N.S., 45, rue d'Ulm, 75230 Paris cedex 05, France

@article{CRMATH_2004__339_10_679_0,
     author = {St\'ephane Fischler},
     title = {Spectres pour l'approximation d'un nombre r\'eel et de son carr\'e},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {679--682},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {339},
     number = {10},
     year = {2004},
     doi = {10.1016/j.crma.2004.10.009},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Stéphane Fischler
TI  - Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2004
SP  - 679
EP  - 682
VL  - 339
IS  - 10
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2004.10.009
LA  - fr
ID  - CRMATH_2004__339_10_679_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Stéphane Fischler
%T Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2004
%P 679-682
%V 339
%N 10
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2004.10.009
%G fr
%F CRMATH_2004__339_10_679_0

Stéphane Fischler. Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 10, pp. 679-682. doi : 10.1016/j.crma.2004.10.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.10.009/

Bibliographie
Cité par

[1] J.-P. Allouche; J.L. Davison; M. Queffélec; L.Q. Zamboni Transcendence of Sturmian or morphic continued fractions, J. Number Theory, Volume 91 (2001) no. 1, pp. 39-66

[2] Y. Bugeaud Approximation by Algebraic Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 160, Cambridge University Press, 2004

[3] Y. Bugeaud, M. Laurent, Exposants d'approximation et fractions continues sturmiennes, soumis

[4] J. Cassaigne Limit values of the recurrence quotient of Sturmian sequences, Theor. Comput. Sci., Volume 218 (1999), pp. 3-12

[5] H. Davenport; W. Schmidt Approximation to real numbers by algebraic integers, Acta Arith., Volume 15 (1969), pp. 393-416

[6] D. Roy Approximation simultanée d'un nombre et de son carré, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 336 (2003), pp. 1-6

[7] D. Roy Approximation to real numbers by cubic algebraic integers I, Proc. London Math. Soc., Volume 88 (2004), pp. 42-62

[8] D. Roy Approximation to real numbers by cubic algebraic integers II, Ann. Math., Volume 158 (2003), pp. 1081-1087

[9] W. Schmidt Diophantine Approximation, Lecture Notes in Math., vol. 785, Springer, 1980

Anthony Poëls Exponents of Diophantine approximation in dimension 2 for a general class of numbers, Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, Volume 11 (2022) no. 1, pp. 37-69 | DOI:10.2140/moscow.2022.11.37 | Zbl:1496.11095
Johannes Schleischitz Going-up theorems for simultaneous Diophantine approximation, The New York Journal of Mathematics, Volume 27 (2021), pp. 848-880 | Zbl:1472.11206
Johannes Schleischitz Cubic approximation to Sturmian continued fractions, Journal of Number Theory, Volume 184 (2018), pp. 270-299 | DOI:10.1016/j.jnt.2017.08.022 | Zbl:1420.11103
Johannes Schleischitz On uniform approximation to successive powers of a real number, Indagationes Mathematicae. New Series, Volume 28 (2017) no. 2, pp. 406-423 | DOI:10.1016/j.indag.2016.11.001 | Zbl:1420.11098
Michel Waldschmidt Recent advances in Diophantine approximation, Number Theory, Analysis and Geometry (2012), p. 659 | DOI:10.1007/978-1-4614-1260-1_29
Damien Roy On Two Exponents of Approximation Related to a Real Number and Its Square, Canadian Journal of Mathematics, Volume 59 (2007) no. 1, p. 211 | DOI:10.4153/cjm-2007-009-3
Stéphane Fischler Palindromic prefixes and Diophantine approximation, Monatshefte für Mathematik, Volume 151 (2007) no. 1, pp. 11-37 | DOI:10.1007/s00605-006-0425-5 | Zbl:1124.11032
Stéphane Fischler Palindromic prefixes and episturmian words, Journal of Combinatorial Theory. Series A, Volume 113 (2006) no. 7, pp. 1281-1304 | DOI:10.1016/j.jcta.2005.12.001 | Zbl:1109.68082

Cité par 8 documents. Sources : Crossref, zbMATH

Commentaires - Politique