[Spectra for approximating a real number and its square.]
Let be the exponent that measures how a non-quadratic real number ξ and its square can be simultaneously approximated by rational numbers with the same denominator. Davenport and Schmidt have proved that is always between the golden ratio γ and 2. Roy, and after him Bugeaud and Laurent, have constructed numbers ξ such that . Their method involves infinite words with many palindrome prefixes. In this text, we define new exponents of approximation that allow us to obtain, to some extent, a characterization of the values obtained by these authors.
Notons l'exposant qui mesure comment un nombre réel non quadratique ξ et son carré peuvent être approchés simultanément par des nombres rationnels de même dénominateur. Davenport et Schmidt ont démontré que est toujours compris (au sens large) entre le nombre d'or γ et 2. Roy, puis Bugeaud et Laurent, ont construit à l'aide de mots ayant beaucoup de préfixes palindromes des réels ξ tels que . Dans ce texte, on définit de nouveaux exposants d'approximation qui permettent, dans une certaine mesure, de caractériser les valeurs de obtenues par ces auteurs.
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Stéphane Fischler 1
@article{CRMATH_2004__339_10_679_0, author = {St\'ephane Fischler}, title = {Spectres pour l'approximation d'un nombre r\'eel et de son carr\'e}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {679--682}, publisher = {Elsevier}, volume = {339}, number = {10}, year = {2004}, doi = {10.1016/j.crma.2004.10.009}, language = {fr}, }
Stéphane Fischler. Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 10, pp. 679-682. doi : 10.1016/j.crma.2004.10.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.10.009/
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