Comptes Rendus
no. 10
Théorie des nombres
Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré

Présenté par : Christophe Soulé

Stéphane Fischler1
1 D.M.A., E.N.S., 45, rue d'Ulm, 75230 Paris cedex 05, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 10, pp. 679-682.

Notons α(ξ) l'exposant qui mesure comment un nombre réel non quadratique ξ et son carré peuvent être approchés simultanément par des nombres rationnels de même dénominateur. Davenport et Schmidt ont démontré que α(ξ) est toujours compris (au sens large) entre le nombre d'or γ et 2. Roy, puis Bugeaud et Laurent, ont construit à l'aide de mots ayant beaucoup de préfixes palindromes des réels ξ tels que α(ξ)<2. Dans ce texte, on définit de nouveaux exposants d'approximation qui permettent, dans une certaine mesure, de caractériser les valeurs de α(ξ) obtenues par ces auteurs.

Let α(ξ) be the exponent that measures how a non-quadratic real number ξ and its square can be simultaneously approximated by rational numbers with the same denominator. Davenport and Schmidt have proved that α(ξ) is always between the golden ratio γ and 2. Roy, and after him Bugeaud and Laurent, have constructed numbers ξ such that α(ξ)<2. Their method involves infinite words with many palindrome prefixes. In this text, we define new exponents of approximation that allow us to obtain, to some extent, a characterization of the values α(ξ) obtained by these authors.

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DOI : 10.1016/j.crma.2004.10.009
Stéphane Fischler 1

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Stéphane Fischler. Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 10, pp. 679-682. doi : 10.1016/j.crma.2004.10.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.10.009/

[1] J.-P. Allouche; J.L. Davison; M. Queffélec; L.Q. Zamboni Transcendence of Sturmian or morphic continued fractions, J. Number Theory, Volume 91 (2001) no. 1, pp. 39-66

[2] Y. Bugeaud Approximation by Algebraic Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 160, Cambridge University Press, 2004

[3] Y. Bugeaud, M. Laurent, Exposants d'approximation et fractions continues sturmiennes, soumis

[4] J. Cassaigne Limit values of the recurrence quotient of Sturmian sequences, Theor. Comput. Sci., Volume 218 (1999), pp. 3-12

[5] H. Davenport; W. Schmidt Approximation to real numbers by algebraic integers, Acta Arith., Volume 15 (1969), pp. 393-416

[6] D. Roy Approximation simultanée d'un nombre et de son carré, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 336 (2003), pp. 1-6

[7] D. Roy Approximation to real numbers by cubic algebraic integers I, Proc. London Math. Soc., Volume 88 (2004), pp. 42-62

[8] D. Roy Approximation to real numbers by cubic algebraic integers II, Ann. Math., Volume 158 (2003), pp. 1081-1087

[9] W. Schmidt Diophantine Approximation, Lecture Notes in Math., vol. 785, Springer, 1980

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