Systèmes de réaction–diffusion sans propriété de Fredholm

Arnaud Ducrot; Martine Marion; Vitaly Volpert

doi:10.1016/j.crma.2005.03.007

Équations aux dérivées partielles

Systèmes de réaction–diffusion sans propriété de Fredholm
[Reaction–diffusion systems without the Fredholm property]

Presented by: Haïm Brezis

Arnaud Ducrot ¹; Martine Marion ¹; Vitaly Volpert ²

¹ Laboratoire de mathématiques appliquées, UMR 5585 CNRS, École centrale de Lyon, 69134 Ecully, France
² Laboratoire de mathématiques appliquées, UMR 5585 CNRS, université Lyon 1, 69622 Villeurbanne, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 9, pp. 659-664.

Abstract
Résumé

We are interested in semi-linear elliptic systems in an infinite cylinder in the case where the components of the nonlinearity vector are linearly dependent. Such systems arise in particular in combustion theory. They do not satisfy the Fredholm property, and the conventional methods of nonlinear analysis are not applicable. The aim of this work is to develop new methods of analysis to study these problems. They are based on the introduction of integro-differential equations for which we prove the Fredholm property and construct the topological degree. These tools are applied to study existence of travelling waves and bifurcations of solutions.

Nous nous intéressons à des systèmes elliptiques semi-linéaires dans des cylindres infinis pour lesquels le vecteur des termes non linéaires a des composantes linéairement dépendantes. De tels systèmes interviennent en théorie de la combustion par exemple et les opérateurs associés ne satisfont pas la propriété de Fredholm. L'objet de ce travail est de développer de nouvelles méthodes permettant l'étude de ces problèmes. Nous substituons au système initial une équation intégro-différentielle pour laquelle il est possible de démontrer la propriété de Fredholm et de construire le degré topologique. Ces outils sont ensuite appliqués à l'étude de l'existence d'ondes progressives ou à celle des bifurcations.

Received: 2005-02-28
Published online: 2005-04-26

DOI: 10.1016/j.crma.2005.03.007

Author's affiliations:

Arnaud Ducrot ¹; Martine Marion ¹; Vitaly Volpert ²

¹ Laboratoire de mathématiques appliquées, UMR 5585 CNRS, École centrale de Lyon, 69134 Ecully, France
² Laboratoire de mathématiques appliquées, UMR 5585 CNRS, université Lyon 1, 69622 Villeurbanne, France

@article{CRMATH_2005__340_9_659_0,
     author = {Arnaud Ducrot and Martine Marion and Vitaly Volpert},
     title = {Syst\`emes de r\'eaction{\textendash}diffusion sans propri\'et\'e de {Fredholm}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {659--664},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {340},
     number = {9},
     year = {2005},
     doi = {10.1016/j.crma.2005.03.007},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Arnaud Ducrot
AU  - Martine Marion
AU  - Vitaly Volpert
TI  - Systèmes de réaction–diffusion sans propriété de Fredholm
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2005
SP  - 659
EP  - 664
VL  - 340
IS  - 9
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2005.03.007
LA  - fr
ID  - CRMATH_2005__340_9_659_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Arnaud Ducrot
%A Martine Marion
%A Vitaly Volpert
%T Systèmes de réaction–diffusion sans propriété de Fredholm
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2005
%P 659-664
%V 340
%N 9
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2005.03.007
%G fr
%F CRMATH_2005__340_9_659_0

Arnaud Ducrot; Martine Marion; Vitaly Volpert. Systèmes de réaction–diffusion sans propriété de Fredholm. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 9, pp. 659-664. doi : 10.1016/j.crma.2005.03.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.03.007/

References
Cited by

[1] H. Berestycki; L. Nirenberg Travelling fronts in cylinders, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 9 (1992), pp. 497-572

[2] M. Freidlin Wave Front Propagation for KPP-Type Equations (M. Freidlin; S. Gredeskul; J. Hunter; A. Marchenko; L. Pastur, eds.), Surveys Appl. Math., vol. 2, Plenum Press, New York, 1995, pp. 1-62

[3] R. Gardner Existence and stability of travelling wave solutions of competition models: a degree theoretic approach, J. Differential Equations, Volume 44 (1982), pp. 343-364

[4] S. Heinze, Traveling waves for semilinear parabolic partial differential equations in cylindrical domains, Preprint No. 506, Heidelberg, 1989, 46 p

[5] J.M. Vega Multidimensional traveling wavefronts in a model from combustion theory and in a related problems, Differential Integral Equations, Volume 6 (1993), pp. 131-153

[6] V. Volpert; A. Volpert Properness and topological degree for general elliptic operators, Abstract Appl. Anal., Volume 3 (2003), pp. 129-181

[7] A. Volpert; V. Volpert Existence of multidimensional travelling waves and systems of waves, Comm. Partial Differential Equations, Volume 26 (2001), pp. 421-459

Cited by Sources:

Comments - Policy