Comptes Rendus
no. 8
Probability Theory/Statistics
About the optimal density associated to the chiral index of a sample from a bivariate distribution
[À propos de la densité optimale associée à l'indice chiral d'un échantillon d'une distribution bivariée]

Présenté par : Paul Deheuvels

Don Coppersmith1 ; Michel Petitjean2
1 IBM TJ Watson Research Center, Yorktown Heights, New York 10598, USA
2 ITODYS (CNRS, UMR 7086, université Paris 7), 1, rue Guy de la Brosse, 75005 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 8, pp. 599-604.

Nous montrons que la forme quadratique complexe z′Pz, où z est un vecteur donné dans Cn et z′ est son transposé, et P est une matrice de permutation, est une combinaison convexe des formes quadratiques z′Pσz, où les Pσ sont des matrices de permutation symétriques. On en déduit que la densité de probabilité optimale associée à l'indice chiral d'un échantillon d'une distribution bivariée est symétrique. Ce résultat est utilisé pour localiser la borne supérieure de l'indice chiral d'une distribution bivariée quelconque dans l'intervalle [1−1/π,1−1/2π].

The complex quadratic form z′Pz, where z is a fixed vector in Cn and z′ is its transpose, and P is any permutation matrix, is shown to be a convex combination of the quadratic forms z′Pσz, where Pσ denotes the symmetric permutation matrices. We deduce that the optimal probability density associated to the chiral index of a sample from a bivariate distribution is symmetric. This result is used to locate the upper bound of the chiral index of any bivariate distribution in the interval [1−1/π,1−1/2π].

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.03.011
Don Coppersmith 1 ; Michel Petitjean 2

1 IBM TJ Watson Research Center, Yorktown Heights, New York 10598, USA
2 ITODYS (CNRS, UMR 7086, université Paris 7), 1, rue Guy de la Brosse, 75005 Paris, France 
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Don Coppersmith; Michel Petitjean. About the optimal density associated to the chiral index of a sample from a bivariate distribution. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 8, pp. 599-604. doi : 10.1016/j.crma.2005.03.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.03.011/

[1] M. Petitjean About second kind continuous chirality measures. 1. Planar sets, J. Math. Chem., Volume 22 (1997), pp. 185-201

[2] M. Petitjean Chiral mixtures, J. Math. Phys., Volume 43 (2002), pp. 4147-4157

[3] M. Petitjean Chirality and symmetry measures: a transdisciplinary review, Entropy, Volume 5 (2003), pp. 271-312 http://www.mdpi.net/entropy

[4] M. Petitjean From shape similarity to shape complementarity: toward a docking theory, J. Math. Chem., Volume 35 (2004), pp. 147-158

[5] S.T. Rachev Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models, Wiley, New York, 1991

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