L'équation aux variations verticales d'un équilibre relatif comme source de nouvelles solutions périodiques du problème des <i>N</i> corps

Alain Chenciner; Jacques Féjoz

doi:10.1016/j.crma.2005.02.016

Systèmes dynamiques/Problèmes mathématiques de la mécanique

L'équation aux variations verticales d'un équilibre relatif comme source de nouvelles solutions périodiques du problème des N corps

Présenté par : Charles-Michel Marle

Alain Chenciner ^1,² ; Jacques Féjoz ^1,³

¹ Astronomie et systèmes dynamiques, IMCCE (UMR 8028 du CNRS), Observatoire de Paris, 77, avenue Denfert-Rochereau, 75014 Paris, France
² Département de mathématiques, université Denis Diderot, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France
³ Analyse algébrique, institut de mathématiques (UMR 7586 du CNRS), université P. et M. Curie, 4, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 8, pp. 593-598.

Résumé
Abstract

À partir d'un repère tournant qui met en résonance la fréquence d'un équilibre relatif du problème des N corps avec celle d'une variation périodique infinitésimale normale au plan de l'équilibre, nous obtenons par continuation une classe remarquable de solutions périodiques. Le premier exemple en est la famille $P_{12}$ , découverte par Christian Marchal, qui relie l'équilibre relatif de Lagrange au Huit.

We start with a rotating frame which enforces a resonance between the frequency of a relative equilibrium of the N-body problem and that of an infinitesimal variation normal to the plane of the equilibrium. Continuation then yields a remarkable class of periodic solutions. The first example is the $P_{12}$ family, discovered by Christian Marchal, which links the relative equilibrium of Lagrange to the Eight.

Reçu le : 2005-01-14
Accepté le : 2005-02-03
Publié le : 2005-03-24

DOI : 10.1016/j.crma.2005.02.016

Affiliations des auteurs :

Alain Chenciner ^{1, 2} ; Jacques Féjoz ^{1, 3}

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Alain Chenciner; Jacques Féjoz. L'équation aux variations verticales d'un équilibre relatif comme source de nouvelles solutions périodiques du problème des N corps. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 8, pp. 593-598. doi : 10.1016/j.crma.2005.02.016. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.02.016/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Albouy; A. Chenciner Le problème des n corps et les distances mutuelles, Invent. Math., Volume 131 (1998), pp. 151-186

[2] V. Barutello, Thèse, U. Milano Bococca, chapitre 2, 2004

[3] A. Chenciner Some facts and more questions about the “Eight” (H. Brezis; K.C. Chang; S.J. Li; P. Rabinowitz, eds.), Topological methods, Variational Methods and Their Applications, Proceedings de la conférence “Nonlinear Functional Analysis”, Taiyuan (Shanxi), août 2002, World Scientific, 2003, pp. 77-88

[4] A. Chenciner Simple non-planar periodic solutions of the n-body problem, Proceedings du colloque NDDS de Kyoto, août, 2002

[5] A. Chenciner Action minimizing solutions of the n-body problem: from homology to symmetry, Proceedings du Congrès international des mathématiciens (ICM), vol. III, Pékin, août, 2002, pp. 279-294

[6] A. Chenciner; J. Féjoz; R. Montgomery Rotating Eights I: the three $Γ_{i}$ families, Nonlinearity, Volume 18 (2005), pp. 1407-1424

[7] A. Chenciner, J. Féjoz, R. Montgomery, Rotating Eights II, en préparation

[8] A. Chenciner, J. Féjoz, The regular polygon unchained, en préparation

[9] A. Chenciner; J. Gerver; R. Montgomery; C. Simó Simple choreographic motions of N bodies: a preliminary study, Geometry, Mechanics, and Dynamics, volume dédié à J. Marsden, Springer, 2002, pp. 287-308

[10] A. Chenciner; R. Montgomery A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses, Ann. Math., Volume 152 (2000), pp. 881-901

[11] A. Chenciner; A. Venturelli Minima de l'intégrale d'action du Problème newtonien de 4 corps de masses égales dans $R^{3}$ : orbites “hip-hop”, Celestial Mech., Volume 77 (2000), pp. 139-152

[12] M. Hénon Vertical stability of periodic orbits in the restricted problem. 1. Equal masses, Astron. Astrophys., Volume 28 (1973), pp. 415-426

[13] M. Hénon Vertical stability of periodic orbits in the restricted problem. 2. Hill's case, Astron. Astrophys., Volume 30 (1974), pp. 317-321

[14] C. Marchal The family $P_{12}$ of the three-body problem – the simplest family of periodic orbits, with twelve symmetries per period, Celestial Mech., Volume 78 (2000), pp. 279-298

[15] K. Meyer; D. Schmidt Libration of central configurations and braided Saturn rings, Celestial Mech., Volume 55 (1993), pp. 289-303

[16] C. Simó New families of solutions in N-body problems (C. Casacuberta et al., eds.), Proceedings of the Third European Congress of Mathematics, Progr. Math., vol. 201, 2001, pp. 101-115

[17] S. Terracini, A. Venturelli, Hip-Hop type solutions with 2N equal masses, preprint, 2004

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