Dans cette note on donne les grandes lignes de la preuve d'un théorème qui constitue une version bilipschitzienne du théorème de Hardt. Étant donnée famille d'ensembles définissables dans une structure o-minimale le théorème de Hardt établit l'existence d'une trivialisation topologique (pour des paramètres génériques) définissable dans la structure. On démontre que l'isotopie peut être choisie bilipschitzienne pour les structures o-minimales polynomialement bornées. La preuve consiste à démontrer l'existence de « triangulations lipschitz » simultanées (cf. Bochnak et al. [Géométrie Algébrique Réelle, Springer-Verlag, 1987]). On en donne ici l'idée et la définition ; la preuve détaillée de l'existence sera publié plus tard.
In this Note we give a sketch of the proof of a theorem which is a bilipschitz version of Hardt's theorem. Given a family definable in an o-minimal structure Hardt's theorem states the existence (for generic parameters) of a trivialization which is definable in the o-minimal structure. We show that, for a polynomially bounded o-minimal structure, there exists such an isotopy which is bilipschitz. The proof is inspired by Bochnak et al. [Géométrie Algébrique Réelle, Springer-Verlag, 1987]. and involves the construction of ‘Lipschitz triangulations’ which are defined in this Note. The complete proof of existence will appear later.
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Guillaume Valette 1
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Guillaume Valette. A bilipschitz version of Hardt's theorem. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 12, pp. 895-900. doi : 10.1016/j.crma.2005.05.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.05.004/
[1] Local bi-Lipschitz classification of two-dimensional semialgebraic sets, Rev. Semin. Iberoam. Mat. Singul. Tordesillas, Volume 2 (1998) no. 1, pp. 29-34 (in Portuguese)
[2] Géométrie Algébrique Réelle, Ergeb. Math., vol. 12, Springer-Verlag, 1987
[3] M. Coste, An introduction to O-minimal geometry. Dip. Mat. Univ. Pisa, Dottorato di Ricerca in Matematica, Istituti Editoriali e Poligrafici Internazionali, Pisa, 2000
[4] Trivialités en famille, Real Algebraic Geometry, Lecture Notes in Math., vol. 1524, Springer, 1992, pp. 193-204
[5] Semi-algebraic local-triviality in semi-algebraic mappings, Amer. J. Math., Volume 102 (1980) no. 2, pp. 291-302
[6] On a subanalytic stratification satisfying a Whitney property with exponent 1, Real Algebraic Geometry (Rennes, 1991), Lecture Notes in Math., vol. 1524, Springer, Berlin, 1992, pp. 316-322
[7] Théorème de préparation pour les fonctions logarithmico-exponentielles, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 47 (1997) no. 3, pp. 859-884
[8] Lipschitz equisingularity, Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), Volume 243 (1985), p. 46
[9] Lipschitz stratification of subanalytic sets, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 27 (1994) no. 6, pp. 661-696
[10] On the preparation theorem for subanalytic functions, New Developments in Singularity Theory (Cambridge, 2000), NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., vol. 21, Kluwer Academic, Dordrecht, 2001, pp. 193-215
[11] Regular projections for sub-analytic sets, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 307 (1988) no. 7, pp. 343-347
[12] G. Valette. Lipschitz triangulations, preprint
[13] L. van den Dries, P. Speissegger, O-minimal preparation theorems, in press
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