Two-grid finite element scheme for the fully discrete time-dependent Navier–Stokes problem

Hyam Abboud; Vivette Girault; Toni Sayah

doi:10.1016/j.crma.2005.07.019

Numerical Analysis

Two-grid finite element scheme for the fully discrete time-dependent Navier–Stokes problem
[Schéma à deux grilles pour le problème de Navier–Stokes instationnaire totalement discrétisé par éléments finis]

Présenté par : Olivier Pironneau

Hyam Abboud ^1,² ; Vivette Girault ¹ ; Toni Sayah ²

¹ Laboratoire Jacques-Louis Lions, université Pierre et Marie Curie, boîte courrier 187, 75252 Paris cedex 05, France
² Faculté des sciences, université Saint-Joseph, B.P. 11-514 Riad El Solh, Beyrouth 1107 2050, Liban

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 7, pp. 451-456.

Résumé
Abstract

Dans cette Note, nous étudions un schéma à deux grilles pour le problème de Navier–Stokes instationnaire totalement discrétisé par une méthode d'éléments finis en espace. Dans la première étape, le problème non-linéaire est discrétisé en espace et en temps sur une grille grossière de pas d'espace H avec un pas de temps k. Puis dans la deuxième étape le problème est discrétisé en espace sur une grille fine de pas d'espace h et le même pas de temps autour de la vitesse $u_{H}$ calculée à l'étape précédente. L'idée de la méthode à deux grilles est que, sous des hypothèses adéquates, la contribution de $u_{H}$ à l'erreur dans le terme non-linéaire en espace, est mesurée en norme $L^{2}$ en espace et en temps et a un ordre plus élevé que si elle était mesurée en norme $H^{1}$ . Nous présentons les résultats suivants : si $h = H^{2} = k,$ alors l'erreur globale de l'algorithme à deux grilles est de l'ordre de h, résultat identique à celui de la résolution directe du problème non-linéaire sur une grille fine.

In this Note, we study a two-grid scheme fully discrete in time and space for solving the Navier–Stokes system. In the first step, the fully non-linear problem is discretized in space on a coarse grid with mesh-size H and time step k. In the second step, the problem is discretized in space on a fine grid with mesh-size h and the same time step, and linearized around the velocity $u_{H}$ computed in the first step. The two-grid strategy is motivated by the fact that under suitable assumptions, the contribution of $u_{H}$ to the error in the non-linear term, is measured in the $L^{2}$ norm in space and time, and thus has hopefully a higher-order than if it were measured in the $H^{1}$ norm in space. We present the following results: if $h = H^{2} = k,$ then the global error of the two-grid algorithm is of the order of h, the same as would have been obtained if the non-linear problem had been solved directly on the fine grid.

Reçu le : 2005-01-28
Accepté le : 2005-07-19
Publié le : 2005-09-13

DOI : 10.1016/j.crma.2005.07.019

Affiliations des auteurs :

Hyam Abboud ^{1, 2} ; Vivette Girault ¹ ; Toni Sayah ²

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Hyam Abboud; Vivette Girault; Toni Sayah. Two-grid finite element scheme for the fully discrete time-dependent Navier–Stokes problem. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 7, pp. 451-456. doi : 10.1016/j.crma.2005.07.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.07.019/

Bibliographie
Cité par

[1] D. Arnold; F. Brezzi; M. Fortin A stable finite element for the Stokes equations, Calcolo, Volume 21 (1984), pp. 337-344

[2] Ph.G. Ciarlet Basic Error Estimates for Elliptic Problems, Handbook of Numerical Analysis, vol. II, North-Holland, Amsterdam, 1991

[3] V. Girault; J.L. Lions Two-grid finite-element schemes for the transient Navier–Stokes equations, M2AN, Volume 35 (2001), pp. 945-980

[4] F. Hecht, O. Pironneau, FreeFem++, see: http://www.freefem.org

[5] O.A. Ladyzenskaya The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordon & Breach, New York, 1963 (in Russian, 1961; First English translation)

[6] J.-L. Lions Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris, 1969

[7] R. Temam Theory and Numerical Analysis of the Navier–Stokes Equations, North-Holland, 1977

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