Comptes Rendus
no. 8
Équations aux dérivées partielles
Les solutions élements finis des équations de Navier–Stokes périodiques en dimension trois sont « appropriées »

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Jean-Luc Guermond1, 2
1 Department of Mathematics, Texas A&M University, College Station, TX 77843-3368, USA
2 LIMSI (CNRS-UPR 3251), BP 133, Orsay 91403, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 8, pp. 491-496.

Les solutions faibles de Faedo–Galerkin des équations de Navier–Stokes en dimension trois dans le tore sont « appropriées », au sens de V. Sheffer, si elles sont construites à partir d'espaces de dimension finie possédant une propriété de commutateur discret et satisfaisant une certaine condition de compatibilité. Les espaces d'éléments finis de bas degré satisfont ces hypothèses. Cette question était ouverte depuis l'introduction de la notion de solution faible « appropriée ».

It is shown that the limits of Faedo–Galerkin approximations of the Navier–Stokes equations in the three-dimensional torus are suitable weak solutions to the Navier–Stokes equations provided they are constructed using finite-dimensional spaces having a discrete commutator property and satisfying a proper inf–sup condition. Low order mixed finite element spaces appear to be acceptable for this purpose. This question was open since the notion of suitable solution was introduced.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.09.013
Jean-Luc Guermond 1, 2

1 Department of Mathematics, Texas A&M University, College Station, TX 77843-3368, USA
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Jean-Luc Guermond. Les solutions élements finis des équations de Navier–Stokes périodiques en dimension trois sont « appropriées ». Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 8, pp. 491-496. doi : 10.1016/j.crma.2005.09.013. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.09.013/

[1] H. Beirão da Veiga On the construction of suitable weak solutions to the Navier–Stokes equations via a general approximation theorem, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 64 (1985) no. 3, pp. 321-334

[2] H. Beirão da Veiga On the suitable weak solutions to the Navier–Stokes equations in the whole space, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 64 (1985) no. 1, pp. 77-86

[3] S. Bertoluzza The discrete commutator property of approximation spaces, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, Volume 329 (1999) no. 12, pp. 1097-1102

[4] L. Caffarelli; R. Kohn; L. Nirenberg Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier–Stokes equations, Comm. Pure Appl. Math., Volume 35 (1982) no. 6, pp. 771-831

[5] J.-L. Guermond, Finite-element-based Faedo–Galerkin weak solutions to the Navier–Stokes equations in the three-dimensional torus are suitable, J. Math. Pures Appl. (2005), in press

[6] C. He On partial regularity for weak solutions to the Navier–Stokes equations, J. Funct. Anal., Volume 211 (2004) no. 1, pp. 153-162

[7] F. Lin A new proof of the Caffarelli–Kohn–Nirenberg theorem, Comm. Pure Appl. Math., Volume 51 (1998) no. 3, pp. 241-257

[8] V. Scheffer Hausdorff measure and the Navier–Stokes equations, Comm. Math. Phys., Volume 55 (1977) no. 2, pp. 97-112

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