Minorations non triviales du plus petit commun multiple de certaines suites finies d'entiers

Bakir Farhi

doi:10.1016/j.crma.2005.09.019

Théorie des nombres

Minorations non triviales du plus petit commun multiple de certaines suites finies d'entiers
[Nontrivial lower bounds for the least common multiple of some finished sequences of integers]

Presented by: Christophe Soulé

Bakir Farhi ¹

¹ Département de mathématiques, université du Maine, avenue Olivier-Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 8, pp. 469-474.

Abstract
Résumé

We present here a method which allows to derive a nontrivial lower bounds for the least common multiple of some finite sequences of integers. We obtain efficient lower bounds (which in a way are optimal) for the arithmetical progressions and lower bounds less efficient (but nontrivial) for some class of quadratic sequences.

In the last part of this Note, we study the integer $lcm (n, n + 1, \dots, n + k)$ ( $k \in N, n \in N^{*}$ ). We show that it has a divisor $d_{n, k}$ simple in its dependence on n and k, and a multiple $m_{n, k}$ also simple in its dependence on n. In addition, we prove that both equalities: $lcm (n, n + 1, \dots, n + k) = d_{n, k}$ and $lcm (n, n + 1, \dots, n + k) = m_{n, k}$ hold for infinitely many pairs $(n, k)$ .

On présente ici une méthode permettant de minorer le plus petit commun multiple de certaines suites finies d'entiers. Nous obtenons des minorations efficaces (voir optimales en un certain sens) pour les progressions arithmétiques et des minorations moins efficaces (mais non triviales) pour une certaine classe de suites quadratiques.

La dernière partie de la Note étudie l'entier $ppcm (n, n + 1, \dots, n + k)$ ( $k \in N, n \in N^{*}$ ). On détermine pour cet entier, un diviseur $d_{n, k}$ simple en sa dépendance en n et k et un multiple $m_{n, k}$ simple en sa dépendance en n et on montre que chacune des deux égalités : $ppcm (n, n + 1, \dots, n + k) = d_{n, k}$ et $ppcm (n, n + 1, \dots, n + k) = m_{n, k}$ a lieu pour une infinité de couples $(n, k)$ .

Received: 2005-05-28
Accepted: 2005-09-09
Published online: 2005-10-05

DOI: 10.1016/j.crma.2005.09.019

Author's affiliations:

Bakir Farhi ¹

¹ Département de mathématiques, université du Maine, avenue Olivier-Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9, France

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Bakir Farhi. Minorations non triviales du plus petit commun multiple de certaines suites finies d'entiers. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 8, pp. 469-474. doi : 10.1016/j.crma.2005.09.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.09.019/