Comptes Rendus
no. 10
Partial Differential Equations/Mathematical Physics
The Camassa–Holm equation on the half-line
[L'équation de Camassa–Holm sur la demi-droite]

Présenté par : Bernard Malgrange

Anne Boutet de Monvel1 ; Dmitry Shepelsky2
1 Institut de mathématiques de Jussieu, case 7012, université Paris 7, 2 place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France
2 Institute for Low Temperature Physics, 47 Lenin Avenue, 61103 Kharkiv, Ukraine
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 10, pp. 611-616.

Nous étudions un problème aux limites pour l'équation de Camassa–Holm sur la demi-droite en exprimant la solution en termes de la solution d'un problème de Riemann–Hilbert matriciel dans le plan complexe du paramètre spectral k. La matrice de saut de ce problème de Riemann–Hilbert est déterminée par les fonctions spectrales qui correspondent aux valeurs initiales et aux valeurs au bord. Nous démontrons que si les valeurs au bord u(0,t) sont ⩾0 pout tout t, alors le problème aux limites a une solution unique, qui s'exprime en termes de la solution du problème de Riemann–Hilbert associé. Lorsque les valeurs au bord u(0,t) sont <0, les valeurs aux limites doivent vérifier une relation de compatibilité qui s'explicite par une relation algébrique que doivent satisfaire les fonctions spectrales associées.

We study the initial-boundary-value problem for the Camassa–Holm equation on the half-line by associating to it a matrix Riemann–Hilbert problem in the complex k-plane; the jump matrix is determined in terms of the spectral functions corresponding to the initial and boundary values. We prove that if the boundary values u(0,t) are ⩾0 for all t then the corresponding initial-boundary-value problem has a unique solution, which can be expressed in terms of the solution of the associated RH problem. In the case u(0,t)<0, the compatibility of the initial and boundary data is explicitly expressed in terms of an algebraic relation to be satisfied by the spectral functions.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.09.035
Anne Boutet de Monvel 1 ; Dmitry Shepelsky 2

1 Institut de mathématiques de Jussieu, case 7012, université Paris 7, 2 place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France
2 Institute for Low Temperature Physics, 47 Lenin Avenue, 61103 Kharkiv, Ukraine 
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Anne Boutet de Monvel; Dmitry Shepelsky. The Camassa–Holm equation on the half-line. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 10, pp. 611-616. doi : 10.1016/j.crma.2005.09.035. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.09.035/

[1] A. Boutet de Monvel; D. Shepelsky Initial boundary value problem for the mKdV equation on a finite interval, Ann. Inst. Fourier, Volume 54 (2004), pp. 1477-1495

[2] R. Camassa; D. Holm An integrable shallow water equation with peaked solutions, Phys. Rev. Lett., Volume 71 (1993), pp. 1661-1664

[3] A. Constantin On the scattering problem for the Camassa–Holm equation, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, Volume 457 (2001), pp. 953-970

[4] V.E. Zakharov; A.B. Shabat A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem, Funct. Anal. Appl., Volume 8 (1974), pp. 226-235

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