Lie algebras generated by 3-forms

Rudolf Philippe Rohr

doi:10.1016/j.crma.2006.01.006

Lie Algebras

Lie algebras generated by 3-forms
[Algèbres de Lie engendrées par des 3-formes]

Présenté par : Michel Duflo

Rudolf Philippe Rohr ¹

¹ University of Geneva, Section of Mathematics, 2-4, rue du Lièvre, CH-1211 Geneva 4, Switzerland

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 6, pp. 381-385.

Résumé
Abstract

Soit U un espace vectoriel réel, B un produit euclidien sur U et $T \in \land U^{*}$ une 3-forme. La 3-forme T permet de définir deux applications, ${[\cdot, \cdot]}_{U} : \land^{2} U \to U$ et $σ : U \to \land^{2} U^{*} ≅ so (U, B)$ telles que ${[x, y]}_{U} = 2 B^{♯} (T (x, y, \cdot))$ et $σ (x) = T (x, \cdot, \cdot)$ . On va démontrer que ${[\cdot, \cdot]}_{U}$ est un crochet de Lie si et seulement si $g_{T} \equiv Im (σ)$ est une sous-algèbre de Lie de $so (U, B)$ .

Let U be a real vector space, B an inner product on U and $T \in \land U^{*}$ a 3-form. The 3-form T defines two natural maps, ${[\cdot, \cdot]}_{U} : \land^{2} U \to U$ and $σ : U \to \land^{2} U^{*} ≅ so (U, B)$ given by ${[x, y]}_{U} = 2 B^{♯} (T (x, y, \cdot))$ and $σ (x) = T (x, \cdot, \cdot)$ . We show that ${[\cdot, \cdot]}_{U}$ is a Lie bracket if and only if $g_{T} \equiv Im (σ)$ is a Lie subalgebra of $so (U, B)$ .

Reçu le : 2004-11-04
Accepté le : 2005-12-21
Publié le : 2006-02-03

DOI : 10.1016/j.crma.2006.01.006

Affiliations des auteurs :

Rudolf Philippe Rohr ¹

¹ University of Geneva, Section of Mathematics, 2-4, rue du Lièvre, CH-1211 Geneva 4, Switzerland

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Rudolf Philippe Rohr. Lie algebras generated by 3-forms. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 6, pp. 381-385. doi : 10.1016/j.crma.2006.01.006. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.01.006/

Bibliographie
Cité par

[1] I. Agricola; T. Friedrich On the holonomy of connection with skew-symmetric torsion, Math. Ann., Volume 328 (2004) no. 4, pp. 711-748

[2] E. Cartan Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos, C. R. Acad. Sci., Volume 187 (1928), p. 196

[3] C. Chevalley The algebraic Theory of Spinors, Columbia University Press, 1954

[4] J.E. Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, 1972

[5] B. Kostant Clifford algebra analogue of the Hopf–Koszul–Samelson theorem, the ρ-decomposition $C (g) = End V_{ρ} \otimes C (P)$ , and the $g$ -module structure of $⋀ g$ , Adv. Math., Volume 125 (1997) no. 2, pp. 275-350

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