The Birkhoff decomposition in groups of formal diffeomorphisms

Frédéric Menous

doi:10.1016/j.crma.2006.02.035

Mathematical Analysis

The Birkhoff decomposition in groups of formal diffeomorphisms
[La décomposition de Birkhoff dans certains groupes de difféomorphismes formels]

Présenté par : Alain Connes

Frédéric Menous ¹

¹ Laboratoire de mathématiques, UMR 8628, bâtiment 425, université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 10, pp. 737-740.

Résumé
Abstract

Soit $G_{\infty}$ le groupe des difféomorphismes formels en une variable, à un paramètre, tangents à l'identité, dont les coefficients sont des séries de Laurent formelles en le paramètre ε ayant un pôle d'ordre fini en 0. On peut définir la décomposition de Birkhoff dans un tel groupe. Nous étudions la stabilité par décomposition de Birkhoff de certains sous-groupes de $G_{\infty}$ et donnons une formule pour cette décomposition. D'après les résultats de A. Connes et D. Kreimer, la décomposition de Birkhoff est liée à la théorie de la renormalisation et nous donnons une application de nos résultats dans la dernière section.

Let $G_{\infty}$ be the group of one parameter identity-tangent diffeomorphisms on the line whose coefficients are formal Laurent series in the parameter ε with a pole of finite order at 0. It is well-known that the Birkhoff decomposition can be defined in such a group. We investigate the stability of the Birkhoff decomposition in subgroups of $G_{\infty}$ and give a formula for this decomposition. As proven by A. Connes and D. Kreimer, the Birkhoff decomposition is related to renormalization in quantum field theory and we give an application of our results in the last section.

Reçu le : 2004-07-25
Accepté le : 2006-02-21
Publié le : 2006-04-03

DOI : 10.1016/j.crma.2006.02.035

Affiliations des auteurs :

Frédéric Menous ¹

¹ Laboratoire de mathématiques, UMR 8628, bâtiment 425, université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex, France

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Frédéric Menous. The Birkhoff decomposition in groups of formal diffeomorphisms. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 10, pp. 737-740. doi : 10.1016/j.crma.2006.02.035. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.02.035/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Connes; D. Kreimer Renormalization in quantum field theory and the Riemann–Hilbert problem II: The β-function, diffeomorphisms and the renormalization group, Commun. Math. Phys., Volume 216 (2001) no. 1, pp. 215-241

[2] J. Ecalle Singularités non abordables par la géométrie, Ann. Inst. Fourier, Volume 42 (1992) no. 1–2, pp. 73-164

[3] C. de Calan; V. Rivasseau Local existence of the Borel transform in Euclidean $φ_{4}^{4}$ , Commun. Math. Phys., Volume 82 (1981/1982) no. 1, pp. 69-100

[4] V. Rivasseau; E. Speer The Borel transform in Euclidean $φ_{ν}^{4}$ local existence for $Re ν < 4$ , Commun. Math. Phys., Volume 72 (1980) no. 3, pp. 293-302

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