Comptes Rendus
Théorie des groupes
Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante résiduellement neutre des groupes réductifs connexes définis sur les corps locaux
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 11, pp. 813-818.

Soient K un corps complet pour une valuation discrète de corps résiduel parfait k, O son anneau d'entiers, G un K-groupe réductif connexe. Bruhat et Tits ont défini la composante résiduellement neutre G00 de G et calculé le H1(K,G00). Le but de cette Note est de calculer la 2-cohomologie galoisienne de G00. Nous complétons ainsi nos résultats où l'étude était faite dans le cas particulier où G=G˜ était supposé simplement connexe et k de dimension cohomologique ⩽1. Nous montrons comment toute classe de 2-cohomologie galoisienne à valeurs dans G00 se réduit à une classe à valeurs dans un k-tore maximal de la fibre spéciale d'un O-modèle de G. On en déduit, en particulier, que si G est un K-groupe réductif connexe et si cd(k)1, alors toute classe de 2-cohomologie galoisienne à valeurs dans la composante résiduellement neutre de G est neutre.

Let K be a complete discrete valuation field, k its residue field, O its ring of integers, and G a connected reductive K-group. Bruhat and Tits have defined the residually neutral component G00 of G and have calculated H1(K,G00). The aim of this Note is to calculate the Galois 2-cohomology of G00. We extend our results where the case G=G˜ simply connected and k of cohomological dimension ⩽1 is treated. We show that each class of Galois 2-cohomology in G00 reduces to a class into a maximal k-torus of the special fiber of an O-model of G. We deduce, in particular, that, if G is a connected reductive K-group and if cd(k)1, then each class of Galois 2-cohomology into the residually neutral component is neutral.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2006.03.021

Jean-Claude Douai 1

1 Laboratoire Paul-Painlevé CNRS UMR 8524, université des sciences et technologies de Lille, 59665 Villeneuve d'Ascq cedex, France
@article{CRMATH_2006__342_11_813_0,
     author = {Jean-Claude Douai},
     title = {Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante r\'esiduellement neutre des groupes r\'eductifs connexes d\'efinis sur les corps locaux},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {813--818},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {342},
     number = {11},
     year = {2006},
     doi = {10.1016/j.crma.2006.03.021},
     language = {fr},
}
TY  - JOUR
AU  - Jean-Claude Douai
TI  - Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante résiduellement neutre des groupes réductifs connexes définis sur les corps locaux
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2006
SP  - 813
EP  - 818
VL  - 342
IS  - 11
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2006.03.021
LA  - fr
ID  - CRMATH_2006__342_11_813_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Jean-Claude Douai
%T Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante résiduellement neutre des groupes réductifs connexes définis sur les corps locaux
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2006
%P 813-818
%V 342
%N 11
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2006.03.021
%G fr
%F CRMATH_2006__342_11_813_0
Jean-Claude Douai. Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante résiduellement neutre des groupes réductifs connexes définis sur les corps locaux. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 11, pp. 813-818. doi : 10.1016/j.crma.2006.03.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.03.021/

[1] M. Borovoi Abelianization of the second non abelian Galois cohomology, Duke Math. J., Volume 72 (1993), pp. 217-239 (MR 1242885)

[2] F. Bruhat; J. Tits Groupes algébriques simples sur un corps local, Proc. Conference on Local Fields (Driebergen, 1966), Springer, 1967, pp. 23-36

[3] F. Bruhat; J. Tits Groupes algébriques sur un corps local, Publ. Math. IHES, Volume 60 (1984), pp. 1-184

[4] F. Bruhat; J. Tits Groupes algébriques sur un corps local, Chapitre III. Compléments et applications à la cohomologie galoisienne, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect IA Math., Volume 34 (1987), pp. 671-698

[5] J.-C. Douai 2-cohomologie galoisienne des groupes semi-simples définis sur les corps locaux, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A, Volume 280 (1975), pp. 321-323

[6] J.-C. Douai, 2-cohomologie galoisienne des groupes semi-simples, thèse d'Etat, Université de Lille I, Lille France, 1976

[7] J. Giraud Cohomologie non abélienne, Grundlheren Math. Wiss., vol. 179, Springer-Verlag, 1971

[8] J.-P. Serre Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Math., vol. 5, Springer-Verlag, Berlin, 1994

Cité par Sources :

Commentaires - Politique