Comptes Rendus
Analyse complexe
Convexité polynomiale, polyhèdres polynomiaux spéciaux et applications
[Polynomial convexity, special polynomial polyhedra and applications]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 11, pp. 825-830.

We generalize in Cn Hilbert Lemniscate Theorem. More precisely, any polynomially convex compact subset K in Cn can be approximated externally by special polynomial polyhedra P defined by proper polynomial mappings from Cn to Cn with ‘almost’ all their zeros in P. In the particular case where K is balanced, we can choose the polynomial mapping ‘almost’ homogeneous with a zero at the origin of multiplicity ‘almost’ equal to the degree. A first consequence of this generalization is a precise version of Runge's theorem in Cn. A second application is an uniform approximation in Cn, of the pluricomplex Green function with pole at infinity for a L-regular compact set K, by maximal plurisubharmonic functions in L+ with isolated logarithmic poles.

Nous généralisons dans Cn le théorème de Hilbert sur les Lemniscates. Plus précisemment, tout compact K polynomialement convexe dans Cn est approchable par des polyhèdres polynomiaux spéciaux P définis par des applications polynomiales propres de Cn dans Cn ayant « presque » tous leurs zéros dans P. Dans le cas particulier où K est disqué, on peut trouver une application polynomiale « presque » homogène avec un zéro en l'origine de multiplicité « presque » égale au degré. Une première conséquence de cette généralisation est une version précise du théorème de Runge dans Cn. Une seconde application est l'approximation uniforme dans Cn, de la fonction de Green pluricomplexe avec pôle à l'infini associée à un compact KL-régulier, par des fonctions maximales de L+ à pôles logarithmiques isolés.

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DOI: 10.1016/j.crma.2006.03.023
Stéphanie Nivoche 1

1 Université Paul-Sabatier, U.F.R. MIG, Laboratoire de Mathématiques E. Picard, C.N.R.S. U.M.R. 5580, 31062 Toulouse Cedex 9, France
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Stéphanie Nivoche. Convexité polynomiale, polyhèdres polynomiaux spéciaux et applications. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 11, pp. 825-830. doi : 10.1016/j.crma.2006.03.023. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.03.023/

[1] E. Bishop Mappings of partially analytic spaces, Amer. J. Math., Volume 83 (1961), pp. 209-242

[2] B. Chabat Introduction à l'analyse complexe, Tome 2, Fonctions de plusieurs variables, Editions Mir, Moscou, 1990

[3] J.-P. Demailly Mesures de Monge–Ampère et mesures pluriharmoniques, Math. Z., Volume 194 (1987), pp. 519-564

[4] D. Hilbert, Über die Entwicklung einer beliebigen analytischen Funktion einer Variablen in einen unendliche nach ganzen rationalen Funktionen fortschreitende Reihe, Nachrichten Königl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl., 1897, 63–70

[5] E. Hille Analytic Function Theory, vol. II, Ginn and Company, 1962

[6] S. Lojasiewicz Introduction to Complex Analytic Geometry, Birkhäuser Verlag, Basel, 1991

[7] P. Montel Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe, Gauthier-Villars, 1910

[8] R. Narasimhan Imbedding of holomorphically complete complex spaces, Amer. J. Math., Volume 82 (1960), pp. 917-934

[9] S. Nivoche Proof of a Conjecture of Zahariuta concerning a problem of Kolmogorov on the ϵ-entropy, Invent. Math., Volume 158 (2004) no. 2, pp. 413-450

[10] T. Ransford Potential Theory in the Complex Plane, London Math. Society, Student Texts, vol. 28, Cambridge University Press, 1995

[11] J. Siciak On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 105 (1962), pp. 322-357

[12] J. Siciak An extremal problem in a class of plurisubharmonic functions, Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. Astr. Phys., Volume XXIV (1976) no. 8, pp. 563-568

[13] V.P. Zahariuta Extremal plurisubharmonic functions, orthogonal polynomials and the Bernstein–Walsh theorem for functions of several complex variables, Ann. Polon. Math., Volume 33 (1976) no. 1–2, pp. 137-148

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