[Polynomial convexity, special polynomial polyhedra and applications]
We generalize in Hilbert Lemniscate Theorem. More precisely, any polynomially convex compact subset K in can be approximated externally by special polynomial polyhedra defined by proper polynomial mappings from to with ‘almost’ all their zeros in . In the particular case where K is balanced, we can choose the polynomial mapping ‘almost’ homogeneous with a zero at the origin of multiplicity ‘almost’ equal to the degree. A first consequence of this generalization is a precise version of Runge's theorem in . A second application is an uniform approximation in , of the pluricomplex Green function with pole at infinity for a -regular compact set K, by maximal plurisubharmonic functions in with isolated logarithmic poles.
Nous généralisons dans le théorème de Hilbert sur les Lemniscates. Plus précisemment, tout compact K polynomialement convexe dans est approchable par des polyhèdres polynomiaux spéciaux définis par des applications polynomiales propres de dans ayant « presque » tous leurs zéros dans . Dans le cas particulier où K est disqué, on peut trouver une application polynomiale « presque » homogène avec un zéro en l'origine de multiplicité « presque » égale au degré. Une première conséquence de cette généralisation est une version précise du théorème de Runge dans . Une seconde application est l'approximation uniforme dans , de la fonction de Green pluricomplexe avec pôle à l'infini associée à un compact -régulier, par des fonctions maximales de à pôles logarithmiques isolés.
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Stéphanie Nivoche 1
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Stéphanie Nivoche. Convexité polynomiale, polyhèdres polynomiaux spéciaux et applications. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 11, pp. 825-830. doi : 10.1016/j.crma.2006.03.023. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.03.023/
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