Une loi fonctionnelle uniforme du logarithme non standard pour les accroissements du processus empirique multivarié

Davit Varron

doi:10.1016/j.crma.2006.05.024

Statistique

Une loi fonctionnelle uniforme du logarithme non standard pour les accroissements du processus empirique multivarié

Présenté par : Paul Deheuvels

Davit Varron ¹

¹ ENSAI, 6, rue Blaise-Pascal, 35170 Bruz cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 6, pp. 427-430.

Résumé
Abstract

Soit ${(Z_{i})}_{i ⩾ 1}$ une suite i.i.d. dont la loi commune sur $R^{d}$ admet une densité continue et strictement positive sur un ouvert borné O de $R^{d}$ . Soit $H \subset O$ un fermé d'intérieur non vide, et soit ${(h_{n})}_{n ⩾ 1}$ une suite de constantes vérifiant, lorsque $n \to \infty$ , $0 < h_{n} < 1$ , $h_{n} ↓ 0$ , $n h_{n} ↑ \infty$ , $n h_{n} / \log n \to c$ , avec $0 < c < \infty$ . Pour tous $z \in H$ ${(s_{1}, \dots, s_{d}) \in [0, 1)}^{d}$ et pour tout $n ⩾ 1$ , on définit

Δ_{n} (z, h_{n}, s) : = \frac{\sum_{i = 1}^{n} 1_{[0, s_{1}) \times \dots \times [0, s_{d})} (\frac{Z_{i} - z}{h_{n}^{1 / d}})}{c f (z) \log n} .

Nous établissons une loi fonctionnelle uniforme non standard du logarithme pour les processus

Δ_{n} (\cdot, h_{n}, z)

z \in H

. Ce résultat étend le résultat de Deheuvels et Mason (1992) au cas multivarié.

Let ${(Z_{i})}_{i ⩾ 1}$ be an i.i.d. sequence being such that $Z_{1}$ has a continuous, strictly positive density f on an open subset $O \subset R^{d}$ . Let $H \subset O$ be a closed subset with nonempty interior. Let ${(h_{n})}_{n ⩾ 1}$ denote a sequence of positive constants fulfilling, as $n \to \infty$ , $0 < h_{n} < 1$ , $h_{n} ↓ 0$ , $n h_{n} ↑ \infty$ , $n h_{n} / \log n \to c$ , with $0 < c < \infty$ . For each $z \in H$ ${(s_{1}, \dots, s_{d}) \in [0, 1)}^{d}$ and $n ⩾ 1$ , we set

Δ_{n} (z, h_{n}, s) : = \frac{\sum_{i = 1}^{n} 1_{[0, s_{1}) \times \dots \times [0, s_{d})} (\frac{Z_{i} - z}{h_{n}^{1 / d}})}{c f (z) \log n} .

We establish a nonstandard uniform functional law of the logarithm for the processes

Δ_{n} (\cdot, h_{n}, z)

z \in H

. This extends the result of Deheuvels and Mason (1992) to the multivariate case.

Reçu le : 2004-12-04
Accepté le : 2006-05-22
Publié le : 2006-08-02

DOI : 10.1016/j.crma.2006.05.024

Affiliations des auteurs :

Davit Varron ¹

¹ ENSAI, 6, rue Blaise-Pascal, 35170 Bruz cedex, France

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Davit Varron. Une loi fonctionnelle uniforme du logarithme non standard pour les accroissements du processus empirique multivarié. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 6, pp. 427-430. doi : 10.1016/j.crma.2006.05.024. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.05.024/

Bibliographie
Cité par

[1] M.A. Arcones The large deviation principle of stochastic processes, Part 1, Teor. Veroyatnost. i Primenen., Volume 47 (2002) no. 1, pp. 122-150

[2] M.A. Arcones The large deviation principle of stochastic processes, Part 2, Teor. Veroyatnost. i Primenen., Volume 48 (2002) no. 4, pp. 1727-1746

[3] P. Deheuvels; D. Mason Functional laws of the iterated logarithm for the increments of empirical and quantile processes, Ann. Probab., Volume 20 (1992), pp. 1248-1287

[4] J. Lynch; J. Sethuraman Large deviations for processes with independent increments, Ann. Probab., Volume 15 (1987) no. 2, pp. 610-627

[5] D. Mason A uniform functional law of the iterated logarithm for the local empirical process, Ann. Probab., Volume 32 (2004) no. 2, pp. 1391-1418

Cité par Sources :

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