[On the density of states of the one dimensional quasi-periodic Schrödinger operators]
We prove two results on the density of states of the discrete one dimensional quasi-periodic Schrödinger equation with an analytic potential and Diophantine frequencies in the perturbed regime. On the one hand, we prove that this function has the behavior of a Hölder- function. On the other, we show that the length of the gaps has a sub-exponential estimate which depends on its label given by the gap-labeling theorem.
On démontre deux résultats sur la densité d'état intégrée de l'équation de Schrödinger quasi-périodique unidimensionnelle discrète avec un potentiel analytique et des fréquences Diophantiennes, dans le régime perturbatif. On montre, d'une part, que cette fonction est -Hölder continue. D'autre part, on donne une estimation sub-exponentielle de la longueur de chaque lacune en fonction de son paramètre donné par le ‘Gap labeling theorem’. Ces résultats sont obtenus par une étude de la réductibilité du co-cycle associé.
Accepted:
Published online:
Sana Hadj Amor 1
@article{CRMATH_2006__343_6_423_0, author = {Sana Hadj Amor}, title = {Sur la densit\'e d'\'etat de l'op\'erateur de {Schr\"odinger} quasi-p\'eriodique unidimensionnel}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {423--426}, publisher = {Elsevier}, volume = {343}, number = {6}, year = {2006}, doi = {10.1016/j.crma.2006.08.001}, language = {fr}, }
Sana Hadj Amor. Sur la densité d'état de l'opérateur de Schrödinger quasi-périodique unidimensionnel. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 6, pp. 423-426. doi : 10.1016/j.crma.2006.08.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.08.001/
[1] A metal-insulator transition for the almost Mathieu model, Comm. Math. Phys., Volume 88 (1983) no. 2, pp. 207-234
[2] Hölder regularity of integrated density of states for the almost Mathieu operator in a perturbative regime, Lett. Math. Phys., Volume 51 (2000) no. 2, pp. 83-118
[3] The rotation number for finite difference operators and its properties, Comm. Math. Phys., Volume 89 (1983) no. 3, pp. 415-426
[4] The one-dimensional Schrödinger equation with quasiperiodic potential, Funktsional. Anal. i Prilozhen., Volume 9 (1975) no. 4, pp. 8-21
[5] Floquet solutions for the 1-dimensional quasi-periodic Schrödinger equation, Comm. Math. Phys., Volume 146 (1992) no. 3, pp. 447-482
[6] Almost reducibility of linear quasi-periodic systems, Proc. Sympos. Pure Math., Volume 69 (2001), pp. 679-705
[7] Réductibilité des systèmes produits-croisés à valeurs dans des groupes compacts, Astérisque, vol. 259, 1999
[8] Structure of the spectrum of a Schrödinger difference operator with almost periodic potential near the left boundary, Funktsional. Anal. i Prilozhen., Volume 19 (1985) no. 1, pp. 34-39
Cited by Sources:
Comments - Policy