Comptes Rendus
no. 11-12
Équations aux dérivées partielles
Une variante de la théorie de l'homogénéisation stochastique des opérateurs elliptiques

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Xavier Blanc1 ; Claude Le Bris2 ; Pierre-Louis Lions3, 4
1 Laboratoire J.-L. Lions, université Pierre et Marie Curie, boîte courrier, 187, 75252 Paris cedex 05, France
2 CERMICS, École nationale des ponts et chaussées, 77455 Champs sur Marne cedex, France
3 Collège de France, 11, place Marcelin Berthelot, 75231 Paris cedex 05, France
4 CEREMADE, université Paris Dauphine, place du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75775 Paris cedex 16, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 11-12, pp. 717-724.

Nous introduisons dans cette Note un cadre stochastique différent du cadre « habituel » permettant d'effectuer l'homogénéisation d'opérateurs elliptiques linéaires ou non linéaires monotones. Ce cadre de travail est relié à des études que nous avons menées sur les limites de systèmes infinis de particules.

We introduce in this Note a stochastic setting allowing for the homogenization of elliptic operators. This setting is different from the usual stochastic setting, and is related to other works of ours studying infinite systems of stochastic particles.

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DOI : 10.1016/j.crma.2006.09.034
Xavier Blanc 1 ; Claude Le Bris 2 ; Pierre-Louis Lions 3, 4

1 Laboratoire J.-L. Lions, université Pierre et Marie Curie, boîte courrier, 187, 75252 Paris cedex 05, France
2 CERMICS, École nationale des ponts et chaussées, 77455 Champs sur Marne cedex, France
3 Collège de France, 11, place Marcelin Berthelot, 75231 Paris cedex 05, France
4 CEREMADE, université Paris Dauphine, place du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75775 Paris cedex 16, France 
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Xavier Blanc; Claude Le Bris; Pierre-Louis Lions. Une variante de la théorie de l'homogénéisation stochastique des opérateurs elliptiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 11-12, pp. 717-724. doi : 10.1016/j.crma.2006.09.034. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.09.034/

[1] R. Alexandre Homogenisation and θ−2 convergence, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, Volume 127 (1997) no. 3, pp. 441-455

[2] X. Blanc, C. Le Bris, P.-L. Lions, On the energy of some microscopic stochastic lattices, à paraître dans Arch. Rat. Mech. Anal

[3] X. Blanc, C. Le Bris, P.-L. Lions, en préparation, suite de [2]

[4] X. Blanc, C. Le Bris, P.-L. Lions, en préparation

[5] U. Krengel Ergodic Theorems, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 6, de Gruyter, 1985

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[9] S.M. Kozlov The averaging of random operators, Mat. Sb. (N.S.), Volume 109(151) (1979) no. 2, pp. 188-202 (in Russian)

[10] G.J. Minty Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space, Duke Math. J., Volume 29 (1962), pp. 341-346

[11] F. Murat Compacité par compensation, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. Cl. Sci., Volume 5 (1978) no. 4, pp. 485-507

[12] G. Papanicolaou; S.R.S. Varadhan Diffusions with random coefficients, Statistics and Probability. Essays in Honour of C.R. Rao, North-Holland, Amsterdam, 1982, pp. 547-552

[13] A.N. Shiryaev Probability, Graduate Texts in Mathematics, vol. 95, Springer, 1984

[14] L. Tartar Compensated compactness and applications to partial differential equations, Nonlinear Analysis and Mechanics: Heriot–Watt Symposium, vol. IV, Res. Notes in Math., vol. 39, Pitman, Boston, MA, 1979, pp. 136-212

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