Comptes Rendus
no. 2
Dynamical Systems
Liénard systems and potential-Hamiltonian decomposition I – methodology
[Systèmes de Liénard et décomposition potentielle-hamiltonienne I – méthodologie]

Présenté par : Yves Meyer

Jacques Demongeot1, 2 ; Nicolas Glade2 ; Loic Forest2
1 Institut Universitaire de France, France
2 TIMC-IMAG UMR CNRS 5525, University J. Fourier Grenoble, faculté de médecine, 38700 La Tronche, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 2, pp. 121-126.

Un système de Liénard est un système différentiel du second ordre, du type : dx/dt=y,dy/dt=−g(x)+yf(x), où g et f sont des polynômes. Un tel système est susceptible d'être décomposé, de manière non unique, en 2 parties polynomiales, l'une potentielle et l'autre hamiltonienne, c'est-à-dire qu'il existe 2 polynômes P et H vérifiant : dx/dt=−∂P/∂x+∂H/∂y,dy/dt=−∂P/∂y−∂H/∂x. On montre, en utilisant la décomposition de Hodge des champs de vecteurs réguliers, que le second membre d'un tel système est décomposable en 2 polynômes, l'un correspondant à une dynamique de gradient et l'autre à une dynamique hamiltonienne. Cette décomposition de Hodge polynomiale est appelée potentielle-hamiltonienne, notée PH-décomposition, et nous en donnons la formule pour tout système différentiel polynomial du plan. Nous donnerons, dans une Note ultérieure, un algorithme permettant d'obtenir une formule explicite de la PH-décomposition au voisinage d'orbites particulières, telles qu'un cycle-limite dans le cas des systèmes de Liénard, la méthode étant applicable à tout système différentiel polynomial du plan.

Following the Hodge decomposition of regular vector fields we can decompose the second member of any Liénard system into 2 (non-unique) polynomials, the first corresponding to potential and the second to Hamiltonian dynamics. This polynomial Hodge decomposition is called potential-Hamiltonian, denoted PH-decomposition, and we give it for any polynomial differential system of dimension 2. We will give in a future Note an algorithm expliciting the PH-decomposition in the neighborhood of particular orbits, like a limit-cycle for Liénard systems, the method being applicable for any polynomial differential system of dimension 2.

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DOI : 10.1016/j.crma.2006.10.016
Jacques Demongeot 1, 2 ; Nicolas Glade 2 ; Loic Forest 2

1 Institut Universitaire de France, France
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Jacques Demongeot; Nicolas Glade; Loic Forest. Liénard systems and potential-Hamiltonian decomposition I – methodology. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 2, pp. 121-126. doi : 10.1016/j.crma.2006.10.016. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.10.016/

[1] O. Cinquin; J. Demongeot High-dimensional switches and the modeling of cellular differentiation, J. Theoret. Biol., Volume 233 (2005), pp. 391-411

[2] M. Clerc; P. Coullet; E. Tirapegui The stationary instability in quasi-reversible systems and the Lorenz pendulum, Int. J. Bifurcation and Chaos, Volume 11 (2001), pp. 591-603

[3] P. Collela; D.P. Trebovich Numerical simulation of incompressible viscous flow in deforming domains, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Volume 96 (1999), pp. 5378-5381

[4] J. Demongeot Theoretical study of attractors in enzymatic systems (B.E. Paulré, ed.), System Dynamics and Analysis of Change, North-Holland, Amsterdam, 1981, pp. 102-122

[5] J. Demongeot Existence de solutions périodiques pour une classe de systèmes différentiels gouvernant la cinétique de chaînes enzymatiques oscillantes, Lecture Notes in Biomathematics, vol. 41, 1981, pp. 40-62

[6] J. Demongeot; J. Aracena; F. Thuderoz; T.P. Baum; O. Cohen Genetic regulation networks: circuits, regulons and attractors, C. R. Acad. Sci. Biologies, Volume 326 (2003), pp. 171-188

[7] J. Demongeot; R. Thomas; M. Thellier A mathematical model for storage and recall functions in plants, C. R. Acad. Sci., Sciences de la Vie, Volume 323 (2000), pp. 93-97

[8] A. El Kacimi-Alaoui; G. Hector Basic Hodge decomposition for a Riemannian foliation, Ann. Institut Fourier, Volume 36 (1986), pp. 207-227

[9] M. Isalan; C. Lemerle; L. Serrano Engineering gene networks to emulate Drosophila embryonic pattern formation, PLoS Biology, Volume 3 (2005), pp. 488-496

[10] T. Iwaniec; C. Scott; B. Stroffolini Nonlinear Hodge theory on manifolds with boundary, Ann. Mat. Pura Appl., Volume 177 (1999), pp. 37-115

[11] A. Jolliot; A. Prochiantz Transduction peptides: from technology to physiology, Nature Cell Biology, Volume 6 (2004), pp. 189-196

[12] A. Lienard Etude des oscillations entretenues, Revue Générale de l'Electricité, Volume 23 (1928), pp. 901-912 (946–954)

[13] A.J. Lotka Contribution to the theory of periodic reactions, J. Phys. Chem., Volume 14 (1910), pp. 271-279

[14] A. Nazarenko Canonical realization of the Poincaré algebra for a relativistic system of charged particles plus electromagnetic field, Proc. Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Volume 30 (2000), pp. 343-349

[15] T. Pham Dinh; J. Demongeot; P. Baconnier; G. Benchetrit Simulation of a biological oscillator: the respiratory rhythm, J. Theoret. Biol., Volume 103 (1983), pp. 113-132

[16] W. Quapp Reaction pathways and projection operators: application to string methods, J. Comput. Chem., Volume 25 (2004), pp. 1277-1285

[17] F.K. Skinner; N. Kopell; E. Marder Mechanisms for oscillation and frequency control in reciprocally inhibitory model neural networks, J. Comput. Neurosci., Volume 1 (1994), pp. 69-87

[18] A.L. Taylor; G.W. Cottrell; W.B. Kristan Analysis of oscillations in a reciprocally inhibitory network with synaptic depression, Neural Computation, Volume 14 (2002), pp. 561-581

[19] M. Thellier; J. Demongeot; J. Guespin; C. Ripoll; V. Norris; R. Thomas A logical (discrete) formulation model for the storage and recall of environmental signals in plants, Plant Biol., Volume 10 (2004), pp. 1055-1075

[20] B. van der Pol; J. van der Mark The heartbeat considered as a relaxation oscillation and an electrical model of the heart, Philos. Mag., Volume 6 (1928), pp. 763-775

[21] B. van der Pol; J. van der Mark Le battement du cœur considéré comme oscillation de relaxation et un modèle électrique du cœur, Onde élec. (1928), pp. 365-392

[22] V. Volterra Fluctuations dans la lutte pour la vie, leurs lois fondamentales et de réciprocité, Bull. Soc. Math. France, Volume 67 (1939), pp. 135-151

[23] X.J. Wang; J. Rinzel Alternating and synchronous rhythms in reciprocally inhibitory model neurons, Neural Computation, Volume 4 (1992), pp. 44-97

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