Nombre de Lelong directionnel d'un courant positif plurisousharmonique

Moncef Toujani

doi:10.1016/j.crma.2006.11.004

Analyse complexe

Nombre de Lelong directionnel d'un courant positif plurisousharmonique

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Moncef Toujani ¹

¹ Université 7 Novembre de Carthage, ISSAT de Mateur 7030 Mateur, Tunisie

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 11-12, pp. 705-710.

Résumé
Abstract

Soit T un courant positif psh de bidegré $(k, k)$ dans un voisinage Ω de 0 dans $C^{N} = C^{n} \times C^{m}$ ( $n = N - m ⩾ k$ ), soient $L = {0} \times C^{m}$ et B un borélien dans L tel que $B \subset \subset Ω$ . On note $(z, t) \in C^{n} \times C^{m}$ et on considère deux fonctions de classe $C^{2}$ positives psh et semi-exhaustives sur Ω, $(z, t) \mapsto φ (z)$ et $(z, t) \mapsto v (t)$ telles que $\log φ$ soit également psh sur l'ouvert ${φ > 0}$ . Nous montrons que T admet un nombre de Lelong directionnel relativement à φ et v. Si $m = 0$ et $φ (z) = {| z |}^{2}$ , on retrouve le nombre de Lelong classique au point 0. Si $m = 0$ et T est un courant positif d-fermé, on retrouve celui introduit par J.-P. Demailly. Si $φ (z) = {| z |}^{2}$ et $v (t) = {| t |}^{2}$ , on retrouve celui introduit par Alessandrini–Bassanelli. Pour cela, nous démontrons une formule de type Lelong–Jensen. Nous démontrons enfin un théorème sur l'existence d'une fonction f psh positive sur un voisinage ouvert de 0 dans L tel que ce nombre de Lelong de T soit donné par f. Ce théorème généralise un résultat antérieur dû à Alessandrini–Bassanelli pour $φ (z) = {| z |}^{2}$ et $v (t) = {| t |}^{2}$ .

Let T be a positive psh current of bidegree $(k, k)$ on a neighborhood Ω of 0 in $C^{N} = C^{n} \times C^{m}$ ( $n = N - m ⩾ k$ ), let $L = {0} \times C^{m}$ and B a Borel subset of L such that $B \subset \subset Ω$ . We denote $(z, t) \in C^{n} \times C^{m}$ and consider two $C^{2}$ positive semi-exhaustive psh functions on Ω, $(z, t) \mapsto φ (z)$ et $(z, t) \mapsto v (t)$ such that $\log φ$ is also psh on the open set ${φ > 0}$ . We prove here that T admits a directional Lelong number along L with respect to the functions φ and v. If $m = 0$ and $φ (z) = {| z |}^{2}$ , we get the classical Lelong number of T at 0. If $m = 0$ and T is a d-closed positive current, we get the number introduced by J.-P. Demailly. If $φ (z) = {| z |}^{2}$ and $v (t) = {| t |}^{2}$ , we get the number introduced by Alessandrini–Bassanelli. The method first consists in proving a Lelong–Jensen type formula. Finally we prove a theorem on the existence of a positive psh function f on L such that the Lelong number of T is given by f. This theorem generalizes a result proved by Alessandrini–Bassanelli with $φ (z) = {| z |}^{2}$ and $v (t) = {| t |}^{2}$ .

Reçu le : 2006-10-16
Accepté le : 2006-11-02
Publié le : 2006-12-01

DOI : 10.1016/j.crma.2006.11.004

Affiliations des auteurs :

Moncef Toujani ¹

¹ Université 7 Novembre de Carthage, ISSAT de Mateur 7030 Mateur, Tunisie

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Moncef Toujani. Nombre de Lelong directionnel d'un courant positif plurisousharmonique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 11-12, pp. 705-710. doi : 10.1016/j.crma.2006.11.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.11.004/

Bibliographie
Cité par

[1] L. Alessandrini; G. Bassanelli Lelong numbers of positive plurisubharmonic currents, Results Math., Volume 30 (1996)

[2] G. Bassanelli Cut off theorem of plurisubharmonic currents, Forum Math., Volume 6 (1994), pp. 576-595

[3] J.-P. Demailly Sur les nombres de Lelong associés à l'image directe d'un courant positif fermé, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 32 (1982), pp. 37-66

[4] J.-P. Demailly Formules de Jensen en plusieurs variables et applications arithmétiques, Bull. Soc. Math. France, Volume 110 (1982), pp. 75-102

[5] Y.T. Siu Analycity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents, Invent. Math., Volume 27 (1974), pp. 53-156

Cité par Sources :

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