Comptes Rendus
Analyse complexe
Nombre de Lelong directionnel d'un courant positif plurisousharmonique
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 11-12, pp. 705-710.

Soit T un courant positif psh de bidegré (k,k) dans un voisinage Ω de 0 dans CN=Cn×Cm (n=Nmk), soient L={0}×Cm et B un borélien dans L tel que BΩ. On note (z,t)Cn×Cm et on considère deux fonctions de classe C2 positives psh et semi-exhaustives sur Ω, (z,t)φ(z) et (z,t)v(t) telles que logφ soit également psh sur l'ouvert {φ>0}. Nous montrons que T admet un nombre de Lelong directionnel relativement à φ et v. Si m=0 et φ(z)=|z|2, on retrouve le nombre de Lelong classique au point 0. Si m=0 et T est un courant positif d-fermé, on retrouve celui introduit par J.-P. Demailly. Si φ(z)=|z|2 et v(t)=|t|2, on retrouve celui introduit par Alessandrini–Bassanelli. Pour cela, nous démontrons une formule de type Lelong–Jensen. Nous démontrons enfin un théorème sur l'existence d'une fonction f psh positive sur un voisinage ouvert de 0 dans L tel que ce nombre de Lelong de T soit donné par f. Ce théorème généralise un résultat antérieur dû à Alessandrini–Bassanelli pour φ(z)=|z|2 et v(t)=|t|2.

Let T be a positive psh current of bidegree (k,k) on a neighborhood Ω of 0 in CN=Cn×Cm (n=Nmk), let L={0}×Cm and B a Borel subset of L such that BΩ. We denote (z,t)Cn×Cm and consider two C2 positive semi-exhaustive psh functions on Ω, (z,t)φ(z) et (z,t)v(t) such that logφ is also psh on the open set {φ>0}. We prove here that T admits a directional Lelong number along L with respect to the functions φ and v. If m=0 and φ(z)=|z|2, we get the classical Lelong number of T at 0. If m=0 and T is a d-closed positive current, we get the number introduced by J.-P. Demailly. If φ(z)=|z|2 and v(t)=|t|2, we get the number introduced by Alessandrini–Bassanelli. The method first consists in proving a Lelong–Jensen type formula. Finally we prove a theorem on the existence of a positive psh function f on L such that the Lelong number of T is given by f. This theorem generalizes a result proved by Alessandrini–Bassanelli with φ(z)=|z|2 and v(t)=|t|2.

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DOI : 10.1016/j.crma.2006.11.004

Moncef Toujani 1

1 Université 7 Novembre de Carthage, ISSAT de Mateur 7030 Mateur, Tunisie
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Moncef Toujani. Nombre de Lelong directionnel d'un courant positif plurisousharmonique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 11-12, pp. 705-710. doi : 10.1016/j.crma.2006.11.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.11.004/

[1] L. Alessandrini; G. Bassanelli Lelong numbers of positive plurisubharmonic currents, Results Math., Volume 30 (1996)

[2] G. Bassanelli Cut off theorem of plurisubharmonic currents, Forum Math., Volume 6 (1994), pp. 576-595

[3] J.-P. Demailly Sur les nombres de Lelong associés à l'image directe d'un courant positif fermé, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 32 (1982), pp. 37-66

[4] J.-P. Demailly Formules de Jensen en plusieurs variables et applications arithmétiques, Bull. Soc. Math. France, Volume 110 (1982), pp. 75-102

[5] Y.T. Siu Analycity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents, Invent. Math., Volume 27 (1974), pp. 53-156

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