Sur la transformation d'Abel–Radon des courants localement résiduels en codimension supérieure

Bruno Fabre

doi:10.1016/j.crma.2007.04.011

Géométrie analytique

Sur la transformation d'Abel–Radon des courants localement résiduels en codimension supérieure
[On the Abel–Radon transform of locally residual currents in great codimension]

Presented by: Pierre Lelong

Bruno Fabre ¹

¹ 22, rue Emile-Dubois 75014 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 2, pp. 81-85.

Abstract
Résumé

Let $X \subset P^{N}$ be a projective submanifold of dimension n in the complex projective space $P^{N}$ . Let U be a domain in the Grassmannian $T : = G (p, N)$ of p-planes in $P^{N}$ , and $U^{*} : = ⋃_{t \in U} H_{t} \subset P^{N}$ be the union of the corresponding p-planes. The Abel–Radon transform associates to a $\bar{\partial}$ -closed current α of bidegree $(q + r, r)$ on $V^{*} : = U^{*} \cap X$ an holomorphic q-form $R (α)$ on U, where $r + N - n = p$ . After recalling the definition of locally residual currents, we show the following theorem (shown in [Fabre B., Sur la transformation d'Abel–Radon des courants localement résiduels, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5) IV (1) (2005) 27–57; version abrégée: C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 787–792] for $p = 1$ and $X = P^{N}$ ), which generalizes the inverse Abel's theorem shown by P. Griffiths (1976):

Let α be a locally residual current of bidegree $(q + r, r)$ on $V^{*}$ . If $R (α) = 0$ , and $q > 0$ , then α extends to X in a unique way as a $\bar{\partial}$ -closed locally residual current $\tilde{α}$ of the same bidegree.

Soit $X \subset P^{N}$ une sous-variété projective de dimension n de l'espace projectif complexe $P^{N}$ . On se donne un ouvert connexe U dans la grassmanienne $T = G (p, N)$ des p-plans de $P^{N}$ , et $U^{*} : = ⋃_{t \in U} H_{t} \subset P^{N}$ l'ouvert correspondant. La transformation d'Abel–Radon R associe à un courant α de bidegré $(q + r, r)$ $\bar{\partial}$ -fermé sur $V^{*} = U^{*} \cap X$ une q-forme holomorphe sur U, où $r + N - n = p$ . Après avoir rappelé la définition des courants localement résiduels, on montre le théorème suivant (montré dans [Fabre B., Sur la transformation d'Abel–Radon des courants localement résiduels, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5) IV (1) (2005) 27–57 ; version abrégée : C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 787–792] pour $p = 1$ et $X = P^{N}$ ), qui généralise le théorème d'Abel inverse montré par P. Griffiths (1976) :

Soit α un courant localement résiduel de bidegré $(q + r, r)$ sur $V^{*}$ . Si $R (α) = 0$ , et $q > 0$ , alors α s'étend sur X, de manière unique, en un courant $\tilde{α}$ localement résiduel $\bar{\partial}$ -fermé de même bidegré.

Received: 2006-09-19
Accepted: 2007-03-12
Published online: 2007-07-12

DOI: 10.1016/j.crma.2007.04.011

Author's affiliations:

Bruno Fabre ¹

¹ 22, rue Emile-Dubois 75014 Paris, France

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Bruno Fabre. Sur la transformation d'Abel–Radon des courants localement résiduels en codimension supérieure. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 2, pp. 81-85. doi : 10.1016/j.crma.2007.04.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.04.011/

References
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Cited by Sources:

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