Comptes Rendus
no. 3
Algebraic Geometry
Small codimension smooth subvarieties in even-dimensional homogeneous spaces with Picard group Z
[Sous-variétés lisses de petite codimension dans les variétés homogènes de groupe de Picard Z]

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Nicolas Perrin1
1 Université Pierre-et-Marie-Curie - Paris 6, institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 3, pp. 155-160.

E. Arrondo et J. Caravantes ont proposé une méthode pour étudier le groupe de Picard Pic(X) d'une sous-variété lisse X d'une variété Y. Dans le cas où Y est homogène, nous montrons que cette méthode est intimement liée à la signature σY de l'accouplement de Poincaré sur la cohomologie de dimension moitié de Y. Nous donnons, sous certaines hypothèses topologiques, une borne sur le rang de Pic(X) en fonction de σY. Dans le cas des grassmanniennes, ces conditions topologiques sont satisfaites et nous obtenons une généralisation des résultats de E. Arrondo et J. Caravantes.

We investigate a method proposed by E. Arrondo and J. Caravantes to study the Picard group of a smooth low-codimensional subvariety X in a variety Y when Y is homogeneous. We prove that this method is strongly related to the signature σY of the Poincaré pairing on the middle cohomology of Y. We give under some topological assumptions a bound on the rank of Picard group Pic(X) in terms of σY and remove these assumptions for Grassmannians to recover the main result of E. Arrondo and J. Caravantes.

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DOI : 10.1016/j.crma.2007.06.012
Nicolas Perrin 1

1 Université Pierre-et-Marie-Curie - Paris 6, institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France 
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Nicolas Perrin. Small codimension smooth subvarieties in even-dimensional homogeneous spaces with Picard group $ \mathbb{Z}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 3, pp. 155-160. doi : 10.1016/j.crma.2007.06.012. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.06.012/

[1] E. Arrondo; J. Caravantes On the Picard group of low-codimension subvarieties | arXiv

[2] W. Barth; M.E. Larsen On the homotopy groups of complex projective algebraic manifolds, Math. Scand., Volume 30 (1972), pp. 88-94

[3] M. Brion Lectures on the geometry of flag varieties, Topics in Cohomological Studies of Algebraic Varieties, Trends Math., Birkhäuser, Basel, 2005, pp. 33-85

[4] P.E. Chaput Geometry over composition algebras: projective geometry, J. Algebra, Volume 298 (2006) no. 2, pp. 340-362

[5] O. Debarre Théorèmes de connexité pour les produits d'espaces projectifs et les grassmanniennes, Amer. J. Math., Volume 118 (1996) no. 6, pp. 1347-1367

[6] W. Fulton; J. Hansen A connectedness theorem for projective varieties, with applications to intersections and singularities of mappings, Ann. of Math. (2), Volume 110 (1979) no. 1, pp. 159-166

[7] R. Lazarsfeld Positivity in Algebraic Geometry. I, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics, vol. 48, Springer-Verlag, Berlin, 2004 (xviii+387 pp)

[8] N. Perrin Small resolutions of minuscule Schubert varieties (Compositio Math., in press) | arXiv

[9] P. Slodowy On the signature of homogeneous spaces, Geom. Dedicata, Volume 43 (1992) no. 1, pp. 109-120

[10] A.J. Sommese Complex subspaces of homogeneous complex manifolds. II. Homotopy results, Nagoya Math. J., Volume 86 (1982), pp. 101-129

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