Courants localement résiduels et cohomologie de Dolbeault des variétés projectives

Bruno Fabre

doi:10.1016/j.crma.2007.06.013

Géométrie analytique

Courants localement résiduels et cohomologie de Dolbeault des variétés projectives

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Bruno Fabre ¹

¹ 22, rue Emile Dubois 75014 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 4, pp. 219-224.

Résumé
Abstract

Soit X une variété projective irréductible de dimension n, et $ω_{X}^{q}$ le faisceau de Barlet des q-formes régulières sur X. Soit $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ des hypersurfaces principales sur X, dont les diviseurs associés sont amples, et s'intersectant proprement. Pour $p ⩽ n$ , le groupe de cohomologie $H^{p} (X, ω_{X}^{q})$ peut se calculer comme la cohomologie de degré p d'un complexe de courants localement résiduels. On en déduit que tout élément de $H^{p} (X, ω_{X}^{q})$ admet comme représentant dans la classe de cohomologie de Dolbeault des courant $\bar{\partial}$ -fermés de bidegré $(q, p)$ un courant localement résiduel à support dans $Y_{1} \cap \dots \cap Y_{p}$ . Pour $q = n$ , on obtient un autre théorème en se restreignant aux courants localement résiduels obtenus à partir de formes méromorphes à pôles logarithmiques sur les $Y_{i}$ ; ce dernier théorème est une variante d'un Théorème 3.1 de Khesin et al. (2004), donnant un calcul de $H^{p} (X, ω_{X}^{n})$ par la cohomologie d'un complexe de « chaines polaires ».

Let X be an irreductible projective variety of dimension n, and $ω_{X}^{q}$ be the Barlet's sheaf of regular q-forms on X. Let $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ be n principal hypersurfaces on X, defining ample line bundles, and intersecting properly. We show in this note that the Dolbeault cohomology group $H^{p} (X, ω_{X}^{q})$ ( $p ⩽ n$ ) can be computed as the p-th cohomology group of some complex of locally residual currents on X; we deduce that any element of $H^{p} (X, ω_{X}^{q})$ admits as representant in the Dolbeault cohomology class of $\bar{\partial}$ -closed currents of bidegree $(q, p)$ a locally residual current with support in $Y_{1} \cap \dots \cap Y_{p}$ . For $q = n$ , we get another theorem by restricting to locally residual currents obtained from meromorphic n-forms with logarithmic poles on the $Y_{i}$ : this second version is a variant of a Theorem 3.1 of Khesin et al. (2004), giving a representation of $H^{p} (X, ω_{X}^{n})$ as the cohomology of a complex of ‘polar chains’.

Reçu le : 2005-11-14
Accepté le : 2007-06-12
Publié le : 2007-07-31

DOI : 10.1016/j.crma.2007.06.013

Affiliations des auteurs :

Bruno Fabre ¹

¹ 22, rue Emile Dubois 75014 Paris, France

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Bruno Fabre. Courants localement résiduels et cohomologie de Dolbeault des variétés projectives. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 4, pp. 219-224. doi : 10.1016/j.crma.2007.06.013. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.06.013/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Dickenstein; M. Herrera; C. Sessa On the global liftings of meromorphic forms, Manuscripta Math., Volume 47 (1984), pp. 31-54

[2] A. Dickenstein; C. Sessa Canonical representatives in moderate cohomology, Invent. Math, Volume 80 (1985), pp. 417-434

[3] P. Griffiths Variations on a theorem of Abel, Invent. Math., Volume 35 (1976), pp. 321-390

[4] B. Khesin; A. Rosly; R. Thomas A polar De Rham theorem, Topology, Volume 43 (2004), pp. 1231-1246

Cité par Sources :

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