Comptes Rendus
no. 4
Géométrie algébrique
Revêtements hyperelliptiques d-osculateurs et solitons elliptiques de la hiérarchie KdV

Présenté par : Michel Raynaud

Armando Treibich1
1 Laboratoire de Mathématique de Lens, Faculté des sciences J. Perrin, université d'Artois, rue J. Souvraz, SP18, 62300 Lens, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 4, pp. 213-218.

Soit d un entier positif, K un corps algébriquement clos de caractéristique 0 et X une courbe elliptique définie sur K. On étudie les courbes hyperelliptiques munies d'une projection sur X, telles que l'image naturelle de X dans la jacobienne de la courbe, oscule à l'ordre d au plongement de celle-ci, en un point de Weierstrass. On construit des familles (d−1)-dimensionnelles de telles courbes, de genre g arbitrairement grand, obtenant, en particulier, des familles (g+d−1)-dimensionnelles de solutions de la hiérarchie KdV, doublement périodiques par rapport à la d-ième variable.

Let d be a positive integer, K an algebraically closed field of characteristic 0 and X an elliptic curve defined over K. We study the hyperelliptic curves equipped with a projection over X, such that the natural image of X in the Jacobian of the curve osculates to order d to the embedding of the curve, at a Weierstrass point. We construct (d−1)-dimensional families of such curves, of arbitrary big genus g, obtaining, in particular, (g+d−1)-dimensional families of solutions of the KdV hierarchy, doubly periodic with respect to the d-th variable.

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DOI : 10.1016/j.crma.2007.06.019
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Armando Treibich. Revêtements hyperelliptiques d-osculateurs et solitons elliptiques de la hiérarchie KdV. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 4, pp. 213-218. doi : 10.1016/j.crma.2007.06.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.06.019/

[1] P. Flédrich, Paires 3-tangentielles hyperelliptiques et solutions doublement périodiques en t de l'équation de K-deV, Thèse Univ. d'Artois (12/2003)

[2] A. Flédrich; P. Treibich Hyperelliptic osculating covers and KdV solutions periodic in t, I.M.R.N., Volume 5 (2006), pp. 1-17 (Article ID 73476)

[3] A.R. Its; V. Matveev Hill's operator, finite number of lacunae and multisoliton solutions of the K-deV equation, Teor. Mat. Fiz., Volume 23 (1980) no. 1975, pp. 51-67

[4] I.M. Krichever Elliptic solutions of the KP equation and integrable systems of particles, Funct. Anal., Volume 14 (1980) no. 4, pp. 45-54

[5] G. Segal; G. Wilson Loop groups and equations of KdV type, Publ. Math. IHES, Volume 61 (1980) no. 1985, pp. 5-65

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[7] A. Treibich Matrix elliptic solitons, Duke Math. J., Volume 90 (1997) no. 3, pp. 523-547

[8] A. Treibich; J.-L. Verdier Solitons elliptiques, The Grothendieck Festschrift, Prog. in Math., vol. 88, Birkhäuser, 1990, pp. 437-479 (appendix by J. Oesterlé)

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