Comptes Rendus
no. 5
Théorie des nombres
Le critère de positivité de Li pour la classe de Selberg

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Sami Omar1 ; Kamel Mazhouda2
1 Faculté des sciences de Tunis, département de mathématiques, 2092 campus universitaire El Manar, Tunis 2092, Tunisie
2 Faculté des sciences de Monastir, département de mathématiques, Monastir 5000, Tunisie
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 5, pp. 245-248.

Considérons la fonction zêta de Riemann complétée ξ(s)=s(s−1)Γ(s/2)π−s/2ζ(s) et les coefficients de Li associés (λn)n⩾1 définis par

λn=1(n−1)!dndsn[sn−1logξ(s)]s=1.
Le critère de Li dit que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si les nombres λn sont tous positifs.

Dans cette Note, on généralise le critère de Li à une fonction F de la classe de Selberg, et on obtient une formule explicite pour les coefficients de Li associés à F.

Let us consider the xi-function ξ(s)=s(s−1)Γ(s/2)π−s/2ζ(s) and the Li coefficients (λn)n⩾1 defined by

λn=1(n−1)!dndsn[sn−1logξ(s)]s=1.
Then, the Li criterion says that the Riemann Hypothesis holds if and only if the coefficients (λn) are positive numbers.

In this Note, we generalise the Li criterion for a function F in the Selberg class. Then, we obtain an explicit formula for the Li coefficients associated to F.

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DOI : 10.1016/j.crma.2007.07.008
Sami Omar 1 ; Kamel Mazhouda 2

1 Faculté des sciences de Tunis, département de mathématiques, 2092 campus universitaire El Manar, Tunis 2092, Tunisie
2 Faculté des sciences de Monastir, département de mathématiques, Monastir 5000, Tunisie 
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Sami Omar; Kamel Mazhouda. Le critère de positivité de Li pour la classe de Selberg. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 5, pp. 245-248. doi : 10.1016/j.crma.2007.07.008. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.07.008/

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