An analog of a theorem of Lange and Stuhler for principal bundles

Indranil Biswas; Laurent Ducrohet

doi:10.1016/j.crma.2007.10.010

Algebraic Geometry

An analog of a theorem of Lange and Stuhler for principal bundles
[Un analogue d'un théorème de Lange et Stuhler pour les fibrés principaux]

Présenté par : Michel Raynaud

Indranil Biswas ¹ ; Laurent Ducrohet ¹

¹ School of Mathematics, Tata Institute of Fundamental Research, Homi Bhabha Road, Bombay 400005, India

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 9, pp. 495-497.

Résumé
Abstract

Soient k un corps algébriquement clos de caractéristique positive p et G l'extension à k d'un groupe linéaire algébrique connexe, défini sur $Z / p Z$ . Soit $E_{G}$ un G-fibré principal au-dessus d'une variété projective X défini sur k. Supposons qu'il existe un revêtement étale galoisien $f : Y \to X$ de degré premier à p tel que le pull-back $f^{*} E_{G}$ est trivial. Alors il existe un entier $n > 0$ tel que le pull-back ${(F_{X}^{n})}^{*} E_{G}$ est isomorphe à $E_{G}$ , où $F_{X}$ est le Frobenius absolu de X.

Ce résultat peut être considéré comme une réciproque partielle de l'observation suivante due à P. Deligne. Soit H un groupe algébrique quelconque défini sur k et $E_{H}$ un H-fibré principal au-dessus d'un schéma Z. Si l'image inverse ${(F_{Z}^{n})}^{*} E_{H}$ est isomorphe à $E_{H}$ pour un entier $n > 0$ convenable, alors il existe un revêtement étale galoisien de Z tel que le pull-back de $E_{H}$ à ce revêtement est trivial, où $F_{Z}$ est le Frobenius absolu de Z.

Let k be an algebraically closed field of characteristic $p > 0$ and G the base change to k of a connected reduced linear algebraic group defined over $Z / p Z$ . Let $E_{G}$ be a principal G-bundle over a projective variety X defined over the field k. Assume that there is an étale Galois covering $f : Y \to X$ with $degree (f)$ coprime to p such that the pulled back principal G-bundle $f^{*} E_{G}$ is trivializable. Then there is a positive integer n such that the pullback ${(F_{X}^{n})}^{*} E_{G}$ is isomorphic to $E_{G}$ , where $F_{X}$ is the absolute Frobenius morphism of X.

This can be considered as a weak converse of the following observation due to P. Deligne. Let H be any algebraic group defined over k and $E_{H}$ a principal H-bundle over a scheme Z. If the pulled back principal H-bundle ${(F_{Z}^{n})}^{*} E_{H}$ over Z is isomorphic to $E_{H}$ for some $n > 0$ , where $F_{Z}$ is the absolute Frobenius morphism of Z, then there is a finite étale Galois cover of Z such that the pullback of $E_{H}$ to it is trivializable.

Reçu le : 2007-07-12
Accepté le : 2007-10-02
Publié le : 2007-10-31

DOI : 10.1016/j.crma.2007.10.010

Affiliations des auteurs :

Indranil Biswas ¹ ; Laurent Ducrohet ¹

¹ School of Mathematics, Tata Institute of Fundamental Research, Homi Bhabha Road, Bombay 400005, India

@article{CRMATH_2007__345_9_495_0,
     author = {Indranil Biswas and Laurent Ducrohet},
     title = {An analog of a theorem of {Lange} and {Stuhler} for principal bundles},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {495--497},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {345},
     number = {9},
     year = {2007},
     doi = {10.1016/j.crma.2007.10.010},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Indranil Biswas
AU  - Laurent Ducrohet
TI  - An analog of a theorem of Lange and Stuhler for principal bundles
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2007
SP  - 495
EP  - 497
VL  - 345
IS  - 9
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2007.10.010
LA  - en
ID  - CRMATH_2007__345_9_495_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Indranil Biswas
%A Laurent Ducrohet
%T An analog of a theorem of Lange and Stuhler for principal bundles
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2007
%P 495-497
%V 345
%N 9
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2007.10.010
%G en
%F CRMATH_2007__345_9_495_0

Indranil Biswas; Laurent Ducrohet. An analog of a theorem of Lange and Stuhler for principal bundles. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 9, pp. 495-497. doi : 10.1016/j.crma.2007.10.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.10.010/

Bibliographie
Cité par

[1] I.M. Isaacs Character Theory of Finite Groups, Academic Press, New York, 1976

[2] N. Jacobson Lectures in Abstract Algebra, Vol. III – Theory of Fields and Galois Theory, D. Van Nostrand Company, Princeton, 1964

[3] H. Lange; U. Stuhler Vektorbündel auf kurven und darstellungen der algebraischen fundamentalgruppe, Math. Z., Volume 156 (1977), pp. 73-83

[4] Y. Laszlo A non-trivial family of bundles fixed by the square of Frobenius, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 333 (2001), pp. 651-656

[5] M.S. Raghunathan Discrete Subgroups of Lie Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 68, Springer-Verlag, New York, 1972

[6] A. Weil Remarks on the cohomology of groups, Ann. Math., Volume 80 (1964), pp. 149-157

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Holomorphic connections on some complex manifolds

Indranil Biswas; Jaya N. Iyer

C. R. Math (2007)