An analog of a theorem of Lange and Stuhler for principal bundles

Indranil Biswas; Laurent Ducrohet

doi:10.1016/j.crma.2007.10.010

Algebraic Geometry

An analog of a theorem of Lange and Stuhler for principal bundles
[Un analogue d'un théorème de Lange et Stuhler pour les fibrés principaux]

Présenté par : Michel Raynaud

Indranil Biswas ¹ ; Laurent Ducrohet ¹

¹ School of Mathematics, Tata Institute of Fundamental Research, Homi Bhabha Road, Bombay 400005, India

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 9, pp. 495-497.

Résumé
Abstract

Soient k un corps algébriquement clos de caractéristique positive p et G l'extension à k d'un groupe linéaire algébrique connexe, défini sur $Z / p Z$ . Soit $E_{G}$ un G-fibré principal au-dessus d'une variété projective X défini sur k. Supposons qu'il existe un revêtement étale galoisien $f : Y \to X$ de degré premier à p tel que le pull-back $f^{*} E_{G}$ est trivial. Alors il existe un entier $n > 0$ tel que le pull-back ${(F_{X}^{n})}^{*} E_{G}$ est isomorphe à $E_{G}$ , où $F_{X}$ est le Frobenius absolu de X.

Ce résultat peut être considéré comme une réciproque partielle de l'observation suivante due à P. Deligne. Soit H un groupe algébrique quelconque défini sur k et $E_{H}$ un H-fibré principal au-dessus d'un schéma Z. Si l'image inverse ${(F_{Z}^{n})}^{*} E_{H}$ est isomorphe à $E_{H}$ pour un entier $n > 0$ convenable, alors il existe un revêtement étale galoisien de Z tel que le pull-back de $E_{H}$ à ce revêtement est trivial, où $F_{Z}$ est le Frobenius absolu de Z.

Let k be an algebraically closed field of characteristic $p > 0$ and G the base change to k of a connected reduced linear algebraic group defined over $Z / p Z$ . Let $E_{G}$ be a principal G-bundle over a projective variety X defined over the field k. Assume that there is an étale Galois covering $f : Y \to X$ with $degree (f)$ coprime to p such that the pulled back principal G-bundle $f^{*} E_{G}$ is trivializable. Then there is a positive integer n such that the pullback ${(F_{X}^{n})}^{*} E_{G}$ is isomorphic to $E_{G}$ , where $F_{X}$ is the absolute Frobenius morphism of X.

This can be considered as a weak converse of the following observation due to P. Deligne. Let H be any algebraic group defined over k and $E_{H}$ a principal H-bundle over a scheme Z. If the pulled back principal H-bundle ${(F_{Z}^{n})}^{*} E_{H}$ over Z is isomorphic to $E_{H}$ for some $n > 0$ , where $F_{Z}$ is the absolute Frobenius morphism of Z, then there is a finite étale Galois cover of Z such that the pullback of $E_{H}$ to it is trivializable.

Reçu le : 2007-07-12
Accepté le : 2007-10-02
Publié le : 2007-10-31

DOI : 10.1016/j.crma.2007.10.010

Affiliations des auteurs :

Indranil Biswas ¹ ; Laurent Ducrohet ¹

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Indranil Biswas; Laurent Ducrohet. An analog of a theorem of Lange and Stuhler for principal bundles. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 9, pp. 495-497. doi : 10.1016/j.crma.2007.10.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.10.010/

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