Comptes Rendus
no. 1-2
Mathematical Analysis/Probability Theory
On multifractal time subordination
[Sur le changement de temps multifractal]

Présenté par : Yves Meyer

Stéphane Seuret1
1 Laboratoire d'analyse et de mathématiques appliquées, UFR sciences et technologie, Université Paris-Est, 61, avenue du Général-de-Gaulle, 94010 Créteil cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 1-2, pp. 11-16.

Soit Z:[0,1]→R une fonction continue. Nous prouvons que pour toute une classe de fonctions continues Z ayant un comportement d'échelle homogène (en un sens que nous précisons), la fonction Z peut se décomposer en Z=g○f, où g est une fonction monofractale d'indice 0<H<1 et f est un homéomorphisme croissant de [0,1]. Ainsi, f étant un subordinateur en temps, Z s'interprète comme la fonction monofractale g en temps f. Nous expliquons pourquoi les conditions imposées à Z sont faibles, et avant tout naturelles.

Ce résultat permet de mieux comprendre les comportements locaux des fonctions continues. En effet, les variations locales de continuité sont essentiellement dûes aux variations de continuité de f, qui peut être vue comme l'intégrale d'une mesure borélienne. Ceci donne une importance prépondérante à l'analyse de régularité locale des mesures boréliennes par rapport à l'analyse des fonctions. Ce travail permet également de relier de façon satisfaisante les mesures auto-similaires aux fonctions auto-similaires via un changement de temps.

Let Z:[0,1]→R be a continuous function. We are interested in the existence of a decomposition of Z as Z=g○f, where g:[0,1]→R is a monofractal function with exponent 0<H<1 and f:[0,1]→[0,1] is a time subordinator (i.e. f is the integral of a positive Borel measure supported by [0,1]). We prove that such a decomposition can be found for a large class of functions, and when the initial function Z is given, the monofractality exponent of the associated function g is uniquely determined. The assumptions made on Z are weak and rather natural.

This yields new insights in the understanding of multifractal behaviors of functions, giving an important role to the regularity analysis of Borel measures. This work also allows us to find a very interesting relationship between self-similar functions and self-similar measures.

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DOI : 10.1016/j.crma.2007.11.019
Stéphane Seuret 1

1 Laboratoire d'analyse et de mathématiques appliquées, UFR sciences et technologie, Université Paris-Est, 61, avenue du Général-de-Gaulle, 94010 Créteil cedex, France 
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Stéphane Seuret. On multifractal time subordination. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 1-2, pp. 11-16. doi : 10.1016/j.crma.2007.11.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.11.019/

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[7] S. Seuret, On multifractality and time subordination for continuous functions, Preprint, 2007

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