Inégalité de la fonction maximale de Hardy–Littlewood dans les espaces d'Orlicz

Nasser Towghi

doi:10.1016/j.crma.2007.11.020

Analyse mathématique

Inégalité de la fonction maximale de Hardy–Littlewood dans les espaces d'Orlicz

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Nasser Towghi ¹

¹ Northrop Grumman Corporation, Electronic Systems, 10 Norden Place, Norwalk, CT 06855, États-Unis

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 1-2, pp. 17-20.

Résumé
Abstract

Il est bien connu que, si $f \in L^{p} [0, 2 π]$ est périodique de période 2π, alors sa fonction maximale de Hardy–Littlewood, $M_{f} (x)$ , appartient à $L^{p} [0, 2 π]$ pour $p > 1$ . Si $f \in L^{1} [0, 2 π]$ , alors sa fonction maximale n'a pas besoin d' $\hat{e}$ tre intégrable. Dans cette courte Note nous considérons les espaces d'Orlicz des fonctions définies sur $[0, 2 π]$ . Nous montrons que, si Φ est une fonction d'Orlicz, alors $‖ M_{f} ‖_{L^{Φ}} ⩽ C_{Φ} ‖ f ‖_{L^{Φ}}$ pour tout $f \in L^{Φ} [0, 2 π]$ si et seulement si $\sum_{j = 1} Φ (\frac{1}{j}) < \infty$ , où $C_{Φ}$ est une constante qui dépend seulement de Φ, et $‖ \cdot ‖_{L^{Φ}}$ est la norme de l'espace d'Orlicz.

It is known that if a function $f \in L^{p} [0, 2 π]$ then its Hardy–Littlewood Maximal function $M_{f} (x)$ , belongs to $L^{p} [0, 2 π]$ for $p > 1$ . This results is not true for the case that $p = 1$ . In this Note we consider Maximal function for functions belonging to Orlicz spaces. We show that Φ is an Orlicz function then $‖ M_{f} ‖_{L^{Φ}} ⩽ C_{Φ} ‖ f ‖_{L^{Φ}}$ for each $f \in L^{Φ} [0, 2 π]$ if and only if $\sum_{j = 1} Φ (\frac{1}{j}) < \infty$ .

Reçu le : 2007-11-21
Accepté le : 2007-11-22
Publié le : 2007-12-31

DOI : 10.1016/j.crma.2007.11.020

Affiliations des auteurs :

Nasser Towghi ¹

¹ Northrop Grumman Corporation, Electronic Systems, 10 Norden Place, Norwalk, CT 06855, États-Unis

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Nasser Towghi. Inégalité de la fonction maximale de Hardy–Littlewood dans les espaces d'Orlicz. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 1-2, pp. 17-20. doi : 10.1016/j.crma.2007.11.020. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.11.020/

Bibliographie
Cité par

[1] Y. Katznelson An Introduction to Harmonic Analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1968

[2] J. Lindenstrauss; L. Tzafriri Classical Banach Spaces I: Sequence Spaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 92, Springer-Verlag, Berlin, 1977

[3] A. Torchinsky Real-Variable Methods in Harmonic Analysis, Academic Press, New York, 1986

[4] A. Zygmund Trigonometric Series, Cambridge Univ. Press, London, 1968

Cité par Sources :

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