Inégalité de la fonction maximale de Hardy–Littlewood dans les espaces d'Orlicz

Nasser Towghi

doi:10.1016/j.crma.2007.11.020

Analyse mathématique

Inégalité de la fonction maximale de Hardy–Littlewood dans les espaces d'Orlicz
[Hardy–Littlewood maximal function inequality in Orlicz spaces]

Presented by: Jean-Pierre Kahane

Nasser Towghi ¹

¹ Northrop Grumman Corporation, Electronic Systems, 10 Norden Place, Norwalk, CT 06855, États-Unis

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 1-2, pp. 17-20

Résumé (Original language)
Abstract

Il est bien connu que, si $f \in L^{p} [0, 2 π]$ est périodique de période 2π, alors sa fonction maximale de Hardy–Littlewood, $M_{f} (x)$ , appartient à $L^{p} [0, 2 π]$ pour $p > 1$ . Si $f \in L^{1} [0, 2 π]$ , alors sa fonction maximale n'a pas besoin d' $\hat{e}$ tre intégrable. Dans cette courte Note nous considérons les espaces d'Orlicz des fonctions définies sur $[0, 2 π]$ . Nous montrons que, si Φ est une fonction d'Orlicz, alors $‖ M_{f} ‖_{L^{Φ}} ⩽ C_{Φ} ‖ f ‖_{L^{Φ}}$ pour tout $f \in L^{Φ} [0, 2 π]$ si et seulement si $\sum_{j = 1} Φ (\frac{1}{j}) < \infty$ , où $C_{Φ}$ est une constante qui dépend seulement de Φ, et $‖ \cdot ‖_{L^{Φ}}$ est la norme de l'espace d'Orlicz.

It is known that if a function $f \in L^{p} [0, 2 π]$ then its Hardy–Littlewood Maximal function $M_{f} (x)$ , belongs to $L^{p} [0, 2 π]$ for $p > 1$ . This results is not true for the case that $p = 1$ . In this Note we consider Maximal function for functions belonging to Orlicz spaces. We show that Φ is an Orlicz function then $‖ M_{f} ‖_{L^{Φ}} ⩽ C_{Φ} ‖ f ‖_{L^{Φ}}$ for each $f \in L^{Φ} [0, 2 π]$ if and only if $\sum_{j = 1} Φ (\frac{1}{j}) < \infty$ .

Received: 2007-11-21
Accepted: 2007-11-22
Published online: 2007-12-31

DOI: 10.1016/j.crma.2007.11.020

Author's affiliations:

Nasser Towghi ¹

¹ Northrop Grumman Corporation, Electronic Systems, 10 Norden Place, Norwalk, CT 06855, États-Unis

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Nasser Towghi. Inégalité de la fonction maximale de Hardy–Littlewood dans les espaces d'Orlicz. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 1-2, pp. 17-20. doi: 10.1016/j.crma.2007.11.020

References
Cited by

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[3] A. Torchinsky Real-Variable Methods in Harmonic Analysis, Academic Press, New York, 1986

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Cited by Sources:

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