Les tournois partiellement critiques

Mohamed Yahia Sayar

doi:10.1016/j.crma.2008.02.002

Logique

Les tournois partiellement critiques

Présenté par : Jean-Yves Girard

Mohamed Yahia Sayar ¹

¹ Faculté des sciences de Sfax, département de mathématiques, route de la soukra km 4, BP 802, 3018 Sfax, Tunisie

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 5-6, pp. 249-252.

Résumé
Abstract

Considérons un tournoi $T = (S, A)$ . À chaque partie non vide X de S est associé le sous-tournoi $T (X) = (X, A \cap (X \times X))$ de T induit par X. Une partie I de S est un intervalle de T si pour tous $a, b \in I$ et $x \in S ∖ I$ , $(a, x) \in A$ si et seulement si $(b, x) \in A$ . Par exemple, ∅, S et ${x}$ , où $x \in S$ , sont des intervalles de T appelés triviaux. Un tournoi est indécomposable si tous ses intervalles sont triviaux ; sinon il est décomposable. Soit $T = (S, A)$ un tournoi indécomposable. Le tournoi T est critique si $T (S ∖ {x})$ est décomposable pour tout $x \in S$ . Il est partiellement critique s'il existe une partie stricte X de S telle que $| X | ⩾ 3$ , $T (X)$ est indécomposable et pour tout $x \in S ∖ X$ , $T (S ∖ {x})$ est décomposable. Les tournois critiques ont été caractérisés par Schmerl et Trotter (1993). Nous caractérisons les tournois partiellement critiques.

Given a tournament $T = (V, A)$ , with each subset X of V is associated the subtournament $T (X) = (X, A \cap (X \times X))$ of T induced by X. A subset I of V is an interval of T provided that for every $a, b \in I$ and $x \in V ∖ I$ , $(a, x) \in A$ if and only if $(b, x) \in A$ . For instance, ∅, V and ${x}$ , where $x \in S$ , are intervals of T called trivial. A tournament is indecomposable if all its intervals are trivial; otherwise it is decomposable. Let $T = (V, A)$ be an indecomposable tournament. The tournament T is critical if $T (S ∖ {x})$ is decomposable for every $x \in S$ . It is partially critical if there exists a proper subset X of V such that $| X | ⩾ 3$ , $T (X)$ is indecomposable and for every $x \in V ∖ X$ , $T (V ∖ {x})$ is decomposable. The critical tournaments were characterized by Schmerl and Trotter (1993). We characterize the partially critical tournaments.

Reçu le : 2008-01-17
Accepté le : 2008-01-20
Publié le : 2008-03-01

DOI : 10.1016/j.crma.2008.02.002

Affiliations des auteurs :

Mohamed Yahia Sayar ¹

¹ Faculté des sciences de Sfax, département de mathématiques, route de la soukra km 4, BP 802, 3018 Sfax, Tunisie

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Mohamed Yahia Sayar. Les tournois partiellement critiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 5-6, pp. 249-252. doi : 10.1016/j.crma.2008.02.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.02.002/

Bibliographie
Cité par

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