Arithmetic coherent states and quantization theory

André Unterberger

doi:10.1016/j.crma.2008.03.018

Number Theory/Mathematical Analysis

Arithmetic coherent states and quantization theory
[États cohérents arithmétiques et quantification]

Présenté par : Jean-Michel Bony

André Unterberger ¹

¹ Département de mathématiques, FRE 311, Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 9-10, pp. 495-498.

Résumé
Abstract

Soit $f (z) = q^{κ} \sum_{m ⩾ 0} a_{m} q^{m}$ , avec $q = e^{2 i π z}$ et $0 < κ ⩽ 1$ , une forme modulaire holomorphe f de poids réel $τ + 1, τ > - 1$ , pour le groupe $Γ = SL (2, Z)$ et pour un multiplicateur arbitraire ; soit $s_{τ}$ la distribution sur la demi-droite telle que $s_{τ} (t) = \sum_{m ⩾ 0} a_{m} δ (t - m - κ)$ . Soit $D_{τ + 1}$ une représentation de la série discrète projective de $G = SL (2, R)$ (ou du prolongement de celle-ci dans le cas où $- 1 < τ ⩽ 0$ ) réalisée, de la manière usuelle, dans un espace de Hilbert $H_{τ + 1}$ de functions sur la demi-droite. Alors, l'ensemble des transformées $s_{τ}^{g} = D_{τ + 1} (g^{−1}) s_{τ}$ , g décrivant un système de représentants de G mod Γ, peut être regardé comme une famille d'états cohérents pour la représentation considérée. L'analyse d'opérateurs appropriés dans $H_{τ + 1}$ au moyen de leurs éléments de matrices diagonaux contre la famille de distributions $s_{τ}^{g}$ fait apparaître, comme densité spectrale, la function $L (\bar{f} \otimes f, s)$ . Le cas où $τ = \pm \frac{1}{2}$ permet davantage et sera traité dans une Note suivante.

Let $f (z) = q^{κ} \sum_{m ⩾ 0} a_{m} q^{m}$ , with $q = e^{2 i π z}$ and $0 < κ ⩽ 1$ , be a holomorphic modular form of real weight $τ + 1, τ > - 1$ , for the group $Γ = SL (2, Z)$ and for an arbitrary multiplier; let $s_{τ}$ be the distribution on the half-line such that $s_{τ} (t) = \sum_{m ⩾ 0} a_{m} δ (t - m - κ)$ . Let $D_{τ + 1}$ be the usual realization, in a Hilbert space $H_{τ + 1}$ of functions on the half–line, of a representation from the projective discrete series of $G = SL (2, R)$ (or the prolongation thereof in the case when $- 1 < τ ⩽ 0$ ). Then, the set of transforms $s_{τ}^{g} = D_{τ + 1} (g^{−1}) s_{τ}$ , g describing any set of representatives of G mod Γ, can be regarded as a set of coherent states for the representation under study. Analyzing appropriate operators in $H_{τ + 1}$ by means of their diagonal matrix elements against the distributions $s_{τ}^{g}$ brings to light, as a spectral-theoretic density, the convolution L-function $L (\bar{f} \otimes f, s)$ . Much more can, and will, be said in a forecoming Note in the cases when $τ = \pm \frac{1}{2}$ .

Reçu le : 2008-01-17
Accepté le : 2008-03-17
Publié le : 2008-04-15

DOI : 10.1016/j.crma.2008.03.018

Affiliations des auteurs :

André Unterberger ¹

¹ Département de mathématiques, FRE 311, Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

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André Unterberger. Arithmetic coherent states and quantization theory. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 9-10, pp. 495-498. doi : 10.1016/j.crma.2008.03.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.03.018/

Bibliographie
Cité par

[1] H. Iwaniec Topics in Classical Automorphic Forms, Graduate Studies in Math., vol. 17, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997

[2] A. Selberg On the estimation of Fourier coefficients of modular forms, Proc. Symp. Pure Math., Volume 8 (1963), pp. 1-15

[3] G. Shimura Modular Forms of Half-Integral Weight, Lecture Notes in Math., vol. 320, Springer-Verlag, Berlin, 1973

[4] A. Unterberger Automorphic Pseudodifferential Analysis and Higher-Level Weyl Calculi, Progress in Math., Birkhäuser, Basel, 2002

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