Le but de cette Note est de présenter une approche unifiée des approximations de type couche limite pour l'opérateur de Laplace dans un domaine à bord rugueux périodique. On montre un résultat négatif pour une loi de paroi moyennée du second ordre. Pour contourner la difficulté, on propose de nouvelles lois de parois multi-échelles incluant les oscillations microscopiques sur la frontière fictive. Dans un premier temps, elles sont explicites et s'expriment comme des conditions de Dirichlet non-homogènes, ensuite on dérive une loi multi-échelle implicite de type Saffman–Joseph mais à coefficient variable. On établit des ordres de convergence et on montre leur validité numérique. On montre également sur un contre-exemple l'impossibilité de construire une loi d'ordre 2 effectif et qui soit moyennée dans les variables rapides.
The purpose of this Note is to present a unifying approach of boundary layer approximations for the Laplace operator in domains with periodic rugous boundaries. We show a negative result for an averaged second-order like wall-law. To circumvent this difficulty, we propose new multi-scale wall-laws that include microscopic oscillations on the fictitious boundary. In a first step they are explicit non-homogeneous Dirichlet conditions, afterwards an implicit multi-scale Saffman–Joseph-like wall-law is derived. We establish theoretical orders of convergence and provide their numerical assessment, as well as a counter-example that demonstrates the impossibility of a real averaged second order wall-law.
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Didier Bresch 1 ; Vuk Milisic 2
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Didier Bresch; Vuk Milisic. Vers des lois de parois multi-échelle implicites. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 15-16, pp. 833-838. doi : 10.1016/j.crma.2008.06.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.06.003/
[1] Effective boundary conditions for laminar flows over periodic rough boundaries, J. Comput. Phys., Volume 147 (1998), pp. 187-218
[2] Influence of rugosity in laminar hydrodynamics, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 323 (1996), pp. 313-318
[3] Wall laws for fluid flows at a boundary with random roughness, Comm. Pure Appl. Math., Volume 61 (2008) no. 7, pp. 941-987
[4] D. Bresch, V. Milisic, Higher order boundary layer correctors and wall-laws derivation: a unified approach, Quart. Appl. Math. (2008), in press
[5] On the roughness-induced effective boundary condition for an incompressible viscous flows, J. Differential Equations, Volume 170 (2001), pp. 96-122
[6] Effective laws for the Poisson equation on domains with curved oscillating boundaries, Appl. Anal., Volume 85 (2006), pp. 479-502
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