Vers des lois de parois multi-échelle implicites

Didier Bresch; Vuk Milisic

doi:10.1016/j.crma.2008.06.003

Équations aux dérivées partielles

Vers des lois de parois multi-échelle implicites
[Towards implicit multi-scale wall-laws]

Presented by: Gérard Iooss

Didier Bresch ¹; Vuk Milisic ²

¹ LAMA UMR5127, Université de Savoie, 73000 Le Bourget du lac cedex, France
² LMC-IMAG UMR5223, 51, rue des Mathématiques, B.P. 53, 38041 Grenoble cedex 9, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 15-16, pp. 833-838.

Abstract
Résumé

The purpose of this Note is to present a unifying approach of boundary layer approximations for the Laplace operator in domains with periodic rugous boundaries. We show a negative result for an averaged second-order like wall-law. To circumvent this difficulty, we propose new multi-scale wall-laws that include microscopic oscillations on the fictitious boundary. In a first step they are explicit non-homogeneous Dirichlet conditions, afterwards an implicit multi-scale Saffman–Joseph-like wall-law is derived. We establish theoretical orders of convergence and provide their numerical assessment, as well as a counter-example that demonstrates the impossibility of a real averaged second order wall-law.

Le but de cette Note est de présenter une approche unifiée des approximations de type couche limite pour l'opérateur de Laplace dans un domaine à bord rugueux périodique. On montre un résultat négatif pour une loi de paroi moyennée du second ordre. Pour contourner la difficulté, on propose de nouvelles lois de parois multi-échelles incluant les oscillations microscopiques sur la frontière fictive. Dans un premier temps, elles sont explicites et s'expriment comme des conditions de Dirichlet non-homogènes, ensuite on dérive une loi multi-échelle implicite de type Saffman–Joseph mais à coefficient variable. On établit des ordres de convergence et on montre leur validité numérique. On montre également sur un contre-exemple l'impossibilité de construire une loi d'ordre 2 effectif et qui soit moyennée dans les variables rapides.

Received: 2006-10-26
Accepted: 2008-06-03
Published online: 2008-07-03

DOI: 10.1016/j.crma.2008.06.003

Author's affiliations:

Didier Bresch ¹; Vuk Milisic ²

¹ LAMA UMR5127, Université de Savoie, 73000 Le Bourget du lac cedex, France
² LMC-IMAG UMR5223, 51, rue des Mathématiques, B.P. 53, 38041 Grenoble cedex 9, France

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Didier Bresch; Vuk Milisic. Vers des lois de parois multi-échelle implicites. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 15-16, pp. 833-838. doi : 10.1016/j.crma.2008.06.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.06.003/

References
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