Explicit reconstruction of a displacement field on a surface by means of its linearized change of metric and change of curvature tensors

Philippe G. Ciarlet; Liliana Gratie; Michele Serpilli

doi:10.1016/j.crma.2008.09.001

Mathematical Problems in Mechanics

Explicit reconstruction of a displacement field on a surface by means of its linearized change of metric and change of curvature tensors
[Reconstruction explicite d'un champ de déplacements le long d'une surface au moyen de ses tenseurs linéarisés de changement de métrique et de courbure]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Philippe G. Ciarlet ¹ ; Liliana Gratie ¹ ; Michele Serpilli ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Laboratoire de mécanique et génie civil, Université de Montpellier II, 34090 Montpellier, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 19-20, pp. 1113-1117.

Résumé
Abstract

Soit ω un ouvert simplement connexe de $R^{2}$ et soit $θ : ω \to R^{2}$ une immersion régulière. Si deux champs $(γ_{α β})$ et $(ρ_{α β})$ de matrices symétriques d'ordre deux satisfont des conditions de compatibilité appropriées dans ω, alors $(γ_{α β})$ et $(ρ_{α β})$ sont les champs de tenseurs linéarisés de changement de métrique et de courbure associés à un champ η de déplacements de la surface $θ (ω)$ .

On montre ici que, si les champs $(γ_{α β})$ et $(ρ_{α β})$ sont réguliers, le vecteur déplacement $η (y)$ en tout point $θ (y), y \in ω$ , de la surface $θ (ω)$ peut être calculé explicitement au moyen d'une “intégrale de Cesàro–Volterra” le long d'un chemin dans ω d'extrémité y, et dont l'intégrande est une fonction explicite des fonctions $γ_{α β}$ et $ρ_{α β}$ et de leurs dérivées covariantes.

Let ω be a simply-connected open subset in $R^{2}$ and let $θ : ω \to R^{3}$ be a smooth immersion. If two symmetric matrix fields $(γ_{α β})$ and $(ρ_{α β})$ of order two satisfy appropriate compatibility relations in ω, then $(γ_{α β})$ and $(ρ_{α β})$ are the linearized change of metric and change of curvature tensor fields corresponding to a displacement vector field η of the surface $θ (ω)$ .

We show here that, when the fields $(γ_{α β})$ and $(ρ_{α β})$ are smooth, the displacement vector $η (y)$ at any point $θ (y), y \in ω$ , of the surface $θ (ω)$ can be explicitly computed by means of a “Cesàro–Volterra path integral formula on a surface”, i.e., a path integral inside ω with endpoint y, and whose integrand is an explicit function of the functions $γ_{α β}$ and $ρ_{α β}$ and their covariant derivatives.

Accepté le : 2008-08-05
Publié le : 2008-09-24

DOI : 10.1016/j.crma.2008.09.001

Affiliations des auteurs :

Philippe G. Ciarlet ¹ ; Liliana Gratie ¹ ; Michele Serpilli ²

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Philippe G. Ciarlet; Liliana Gratie; Michele Serpilli. Explicit reconstruction of a displacement field on a surface by means of its linearized change of metric and change of curvature tensors. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 19-20, pp. 1113-1117. doi : 10.1016/j.crma.2008.09.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.09.001/

Bibliographie
Cité par

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[5] P.G. Ciarlet, L. Gratie, M. Serpilli, On the Cesàro–Volterra path integral formula on a surface and its relation to the Saint Venant compatibility conditions, in preparation

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